3.16 演習問題 〜 1 次独立

3.71 (1 次独立)   次のベクトルの組が 1 次独立であるか 1 次従属であるか述べよ.

(1) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{2}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix}}$      (2) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{2}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-1 \\ 3
\end{bmatrix}}$      (3) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{2}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-2 \\ -4
\end{bmatrix}}$      (4) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{2}\ni
\begin{bmatrix}
3 \\ 4
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ -3
\end{bmatrix}}$

(5) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{2}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
3 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 \\ 1
\end{bmatrix}}$      (6) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}}$      (7) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
3 \\ 2 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 \\ 1 \\ 3
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
5 \\ 4 \\ -3
\end{bmatrix}}$

(8) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
2 \\ 4 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
3 \\ 1 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
5 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 \\ 0 \\ 3
\end{bmatrix}}$      (9) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
2 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ 1
\end{bmatrix}}$      (10) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ -1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-1 \\ 0 \\ 2
\end{bmatrix}}$

(11) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ -1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-1 \\ 0 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
5 \\ 6 \\ -7
\end{bmatrix}}$      (12) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ -1 \\ 2
\end{bmatrix}}$      (13) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ -1 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ -2
\end{bmatrix}}$

(14) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ -1 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ -2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
3 \\ -1 \\ 0
\end{bmatrix}}$      (15) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ -1 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ -2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 \\ -1 \\ 2
\end{bmatrix}}$

(16) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
0 \\ 2 \\ 5
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-1 \\ 3 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 3
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 2
\end{bmatrix}}$      (17) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ -1 \\ 0
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ 3 \\ -1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
5 \\ 3 \\ -2
\end{bmatrix}}$

(18) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ -3
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ -3 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 \\ -1 \\ 5
\end{bmatrix}}$      (19) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
2 \\ -3 \\ 7
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
3 \\ -1 \\ -4
\end{bmatrix}}$

(20) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ -3 \\ 7
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 \\ 0 \\ -6
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
3 \\ -1 \\ -1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 \\ 4 \\ -5
\end{bmatrix}}$      (21) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{4}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 2 \\ 4
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0 \\ 3
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 \\ 1 \\ 3 \\ 0
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-2 \\ 0 \\ -1 \\ 1
\end{bmatrix}}$

(22) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{4}\ni
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 0 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}}$      (23) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{4}\ni
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 0 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
3 \\ 2 \\ 1 \\ -1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-1 \\ 2 \\ 3 \\ 1
\end{bmatrix}}$      (24) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{4}\ni
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 0 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
3 \\ 2 \\ 1 \\ -1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-1 \\ 1 \\ -1 \\ 2
\end{bmatrix}}$      (25) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{4}\ni
\begin{bmatrix}
6 \\ 2 \\ 3 \\ 4
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 5 \\ -3 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 7 \\ -2
\end{bmatrix}}$

(26) $ \displaystyle{\mathbb{R}[x]_2\ni 1+x+x^2,\,\,2-x+2x^2,\,\,-1+2x+x^2}$

3.72 (1 次結合)   ベクトルを

$\displaystyle \vec{u}_1= \begin{bmatrix}1 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}, \qquad \vec...
...\\ -4 \end{bmatrix}, \qquad \vec{u}_4= \begin{bmatrix}1 \\ a \\ 5 \end{bmatrix}$    

とおく. $ \vec{u}_3$$ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2$ の1 次結合で表せ. また,$ \vec{u}_4$$ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2$ の 1 次結合で表されるための $ a$ の値を定めよ.

3.73 (1 次独立)   ベクトル $ \vec{u}_{1}$, $ \vec{u}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{m}$ が 1 次独立のとき, $ \vec{v}_{1}$, $ \vec{v}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{v}_{n}$ は 1 次独立であるか 1 次従属であるか述べよ.

(1) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
...2} \\
\vec{v}_{2}=\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}
\end{array}\right.}\end{displaymath}          (2) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
...\\
\vec{v}_{2}=-3\vec{u}_{1}+6\vec{u}_{2}
\end{array}\right.}\end{displaymath}          (3) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
... \\
\vec{v}_{3}=2\vec{u}_{1}+3\vec{u}_{2}
\end{array}\right.}\end{displaymath}

(4) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
...{v}_{2}=\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}-\vec{u}_{3}
\end{array}\right.}\end{displaymath}          (5) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
...v}_{2}=-\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}-\vec{u}_{3}
\end{array}\right.}\end{displaymath}          (6) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=2\vec{u}...
...}_{3}=\vec{u}_{1}+2\vec{u}_{2}+4\vec{u}_{3}
\end{array}\right.}\end{displaymath}

(7) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
...}_{3}=2\vec{u}_{1}-\vec{u}_{2}+2\vec{u}_{3}
\end{array}\right.}\end{displaymath}          (8) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
...v}_{3}=\vec{u}_{1}-2\vec{u}_{2}+\vec{u}_{3}
\end{array}\right.}\end{displaymath}          (9) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
..._3 \\
\vec{v}_{3}=\vec{u}_{1}+\vec{u}_{3}
\end{array}\right.}\end{displaymath}          (10) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
..._3 \\
\vec{v}_{3}=\vec{u}_{2}+\vec{u}_{3}
\end{array}\right.}\end{displaymath}          (11) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
...v}_{3}=3\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}+\vec{u}_{3}
\end{array}\right.}\end{displaymath}          (12) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
...v}_{4}=\vec{u}_{1}+2\vec{u}_{2}+\vec{u}_{3}
\end{array}\right.}\end{displaymath}          (13) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
...u}_{1}-\vec{u}_{2}+2\vec{u}_{3}-\vec{u}_{4}
\end{array}\right.}\end{displaymath}          (14) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
...{u}_{1}-\vec{u}_{2}+\vec{u}_{3}+\vec{u}_{4}
\end{array}\right.}\end{displaymath}

(15) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
...}_{1}+3\vec{u}_{2}+\vec{u}_{3}+3\vec{u}_{4}
\end{array}\right.}\end{displaymath}          (16) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
...}_{1}+2\vec{u}_{2}+3\vec{u}_{3}+\vec{u}_{4}
\end{array}\right.}\end{displaymath}

(17) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_...
...}_{1}+\vec{u}_{2}-3\vec{u}_{4}-2\vec{u}_{5}
\end{array}\right.}\end{displaymath}      (18) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_{...
...\\
\vec{v}_{m-1}=\vec{u}_{m-1}+\vec{u}_{m}
\end{array}\right.}\end{displaymath}      (19) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_{...
...dots\\
\vec{v}_{m}=\vec{u}_{1}+\vec{u}_{m}
\end{array}\right.}\end{displaymath}

Kondo Koichi
平成18年1月17日