3.19 1 次関係と行列の簡約化

定理 3.79 (簡約化行列の 1 次関係)   行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix}$    

を簡約化した行列を

$\displaystyle B= \begin{bmatrix}\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \cdots & \vec{b}_{n} \end{bmatrix}$    

とする. このとき $ A$ の列ベクトル $ \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}$ に関する 1 次関係と $ B$ の列ベクトル $ \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\cdots,\vec{b}_{n}$ に関する 1 次関係とは等価である.


(証明)     行列 $ A$ を簡約化して $ B$ となるとき, 基本変形を表す行列 $ P$ を用いて

$\displaystyle B=PA$    

と表される. これは

$\displaystyle \begin{bmatrix}\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \cdots & \vec{b}_{n} \end{bmatrix}$ $\displaystyle = P \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix}$    
$\displaystyle \begin{bmatrix}\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \cdots & \vec{b}_{n} \end{bmatrix}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}P\vec{a}_{1} & P\vec{a}_{2} & \cdots & P\vec{a}_{n} \end{bmatrix}$    

となるので,各列ベクトルは

$\displaystyle \vec{b}_j=P\vec{a}_j, \qquad j=1,2,\cdots,n$    

と表される.また $ P$ は正則行列であるから,

$\displaystyle \vec{a}_j=P^{-1}\vec{b}_j, \qquad j=1,2,\cdots,n$    

とも表される. ここで $ \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}$ に関する 1 次関係を

$\displaystyle c_1\vec{a}_1+ c_2\vec{a}_2+ \cdots+ c_n\vec{a}_n =\vec{0}$    

とする.これより,

$\displaystyle c_1P^{-1}\vec{b}_1+ c_2P^{-1}\vec{b}_2+ \cdots+ c_nP^{-1}\vec{b}_n$ $\displaystyle =\vec{0}$    
$\displaystyle P^{-1}( c_1\vec{b}_1+ c_2\vec{b}_2+ \cdots+ c_n\vec{b}_n)$ $\displaystyle =\vec{0}$    
$\displaystyle PP^{-1}( c_1\vec{b}_1+ c_2\vec{b}_2+ \cdots+ c_n\vec{b}_n)$ $\displaystyle =P\vec{0}$    
$\displaystyle c_1\vec{b}_1+ c_2\vec{b}_2+ \cdots+ c_n\vec{b}_n$ $\displaystyle =\vec{0}$    

を得る. これは $ \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\cdots,\vec{b}_{n}$ に関する 1 次関係であり, $ \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}$ に関する 1 次関係と 等しい.

Kondo Koichi
平成18年1月17日