3.23 演習問題 〜 1 次独立なベクトルの最大個数

問 3.84 (1 次独立なベクトルの最大個数)   次のベクトルの組の 1 次独立なベクトルの最大個数と そのときの組合わせのひとつを示せ． また，それ以外の 1 次従属なベクトルを 1 次独立なベクトルの 1 次結合で表わせ．

(1) $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$      (2) $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix}}$$      (3) $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -2 \\ -4 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix}}$$

(4) $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix}}$$      (5) $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}}$$      (6) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}}$$

(7) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}$$      (8) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}}$$

(9) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}}$$      (10) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}}$$

(11) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}}$$      (12) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 10 \\ 8 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$

(13) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}}$$      (14) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$

(15) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ 8 \\ -5 \\ 7 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \\ 23 \end{bmatrix}}$$      (16) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ -6 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}}$$

(17) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 12 \end{bmatrix}}$$      (18) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}}$$.

(19) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$      (20) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$. $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$

(21) $${ \mathbb{R}^{5}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$

(22) $\mathbb{R}[x]_3\ni 1+2x$, $2+3x-x^3$, $1-x+2x^2$, $1+x-x^3$, $3x-2x^2$      (23) $\mathbb{R}[x]_4\ni 1+x-x^2+2x^3+x^4$, $1+x^2+x^3$, $3+5x-7x^2+8x^3+5x^4$, $1-2x+5x^2-x^3-2x^4$, $x+2x^2+x^3+x^4$

問 3.85 (1 次独立なベクトルの最大個数)   次の行列の列ベクトルの $1$ 次独立なベクトルの最大個数を述べよ． また，行ベクトルの $1$ 次独立なベクトルの最大個数を述べよ．

(1) $${ \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}}$$          (2) $${ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{bmatrix}}$$          (3) $${ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -4 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}}$$         (4) $${ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}}$$

(5) $${ \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 & -1 & 0 \\ -2 & -3 & 2 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 \end{bmatrix}}$$         (6) $${ \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & -1 & 2 \end{bmatrix}}$$          (7) $${ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \end{bmatrix}}$$

Kondo Koichi
平成18年1月17日