3.24 ベクトルで張られる空間

定義 3.86 (ベクトルによって生成される空間)   $ K$ 上のベクトル空間 $ V$ の ベクトル $ \vec{u}_{1}$, $ \vec{u}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{n}$ の 線形結合全体の集合を

  $\displaystyle \left\langle \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u...
...s+c_{n}\vec{u}_{n}}\,\,\right\vert\,\,{c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}\in K}\,\right\}$    

と定義する. この集合を ベクトル $ \vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}$ に よって生成される(張られる)空間という. または省略して単に $ \left\langle \vec{u}_{1},\,\,
\cdots,\,\,
\vec{u}_{n}\right\rangle $ と表記する.

定理 3.87 (ベクトルにより生成される空間と部分空間)   ベクトル $ \vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n} \in V$ により生成される空間

$\displaystyle W= \left\langle \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right\rangle$    

$ V$ の部分空間である.


(証明)     まず,明らかに $ W\subset V$ である. 次に $ W$ の任意の 2 つのベクトルは

$\displaystyle \vec{a}= a_1\vec{u}_1+ a_2\vec{u}_2+ \cdots+ a_n\vec{u}_n, \qquad \vec{b}= b_1\vec{u}_1+ b_2\vec{u}_2+ \cdots+ b_n\vec{u}_n$    

と表される. これらと任意のスカラー $ \alpha,\beta\in\mathbb{R}$ との 線形結合は

$\displaystyle \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$ $\displaystyle = (\alpha a_1+\beta b_1)\vec{u}_1+ (\alpha a_2+\beta b_2)\vec{u}_2+ \cdots+ (\alpha a_n+\beta b_n)\vec{u}_n$    
  $\displaystyle = c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_n\vec{u}_n \in W$    

となる.よって $ W$ は部分空間である.

3.88 (ベクトルによって生成される空間の具体例)   $ \mathbb{R}^2$ のベクトルにより生成される空間

$\displaystyle W= \left\langle \vec{u}_1\right\rangle = \left\langle \begin{bmat...
...ft\{\left.\,{\alpha\vec{u}_1}\,\,\right\vert\,\,{\alpha\in\mathbb{R}}\,\right\}$    

は, 方向ベクトル $ \vec{u}_1$ で原点 $ \vec{0}$ を通る直線である.

3.89 (ベクトルによって生成される空間の具体例)   $ \mathbb{R}^2$ のベクトルにより生成される空間

$\displaystyle W= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle = \left\lan...
...rix}1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle$    

の任意のベクトルは

$\displaystyle y_1\vec{u}_1+ y_2\vec{u}_2 = y_1 \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatr...
...egin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}y_1 \\ y_1+y_2 \end{bmatrix}$    

である. 2 つのスカラー $ y_1,y_2$ はすべての実数をとる. ここで $ y_1,y_1+y_2$ を新たな 2 つの実数 $ x_1,x_2$ を用いて $ y_1=x_1$, $ y_1+y_2=x_2$ とおく. このとき,

$\displaystyle y_1\vec{u}_1+ y_2\vec{u}_2 = \begin{bmatrix}y_1 \\ y_1+y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \vec{x}$    

と表される. ベクトル $ \vec{x}$ 全体のなす集合は $ \mathbb{R}^2$ と等しい. 以上より,

$\displaystyle W= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle =\mathbb{R}^2$    

が成立する.

3.90 (ベクトルによって生成される空間の具体例)   $ \mathbb{R}^3$ のベクトルにより生成される部分空間

$\displaystyle W_1= \left\langle \vec{u}_1\right\rangle = \left\langle \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle$    

は,方向ベクトル $ \vec{u}_1$ で原点 $ \vec{0}$ を通る 直線である. 部分空間

$\displaystyle W_2= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle = \left\l...
... \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle$    

は原点 $ \vec{0}$ を通り方向ベクトルが $ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2$ の 平面である. 部分空間

$\displaystyle W_3= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3\right\r...
... \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle$    

$ W_3=\mathbb{R}_3$ が成り立つ.

3.91 (ベクトルによって生成される空間の具体例)   基本ベクトル $ \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\cdots,\vec{e}_{n}\in
\mathbb{R}^{n}$ により生成される空間

$\displaystyle W= \left\langle \vec{e}_1,\,\, \vec{e}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{e}_n\right\rangle$    

を考える.$ W$ の任意のベクトルは

$\displaystyle x_1\vec{e}_1+ x_2\vec{e}_2+ \cdots+ x_n\vec{e}_n = x_1 \begin{bma...
...nd{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} =\vec{x}$    

となる. 係数 $ x_1,x_2,\cdots,x_n$ はすべての実数であるから, ベクトル $ \vec{x}$ のなす集合は $ \mathbb{R}^n$ と等しい. よって,

$\displaystyle \left\langle \vec{e}_1,\,\, \vec{e}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{e}_n\right\rangle =\mathbb{R}^{n}$    

が成り立つ.

Kondo Koichi
平成18年1月17日