例 3.115 (ベクトルで張られる空間の次元)
![$ \mathbb{R}^3$](img520.png)
の基底のひとつに標準基底
![$ \{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}$](img1320.png)
がある.
個数は 3 個なので
![$ \dim(\mathbb{R}^3)=3$](img1321.png)
となる.
次に次元
![$ \dim(\mathbb{R}^3)=3$](img1321.png)
と同じ個数のベクトル
を考える.
これらを列ベクトルとする行列を
![$ A=\begin{bmatrix}
\vec{a}_1 & \vec{a}_2 & \vec{a}_3
\end{bmatrix}$](img1323.png)
とおく.
![$ \mathrm{rank}\,(A)=3$](img839.png)
より
![$ A$](img265.png)
は正則となり,
ベクトルの組
![$ \{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}$](img1324.png)
は
1 次独立である.
このとき
![$ \{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}$](img1324.png)
は基底となる.
これを示す.
![$ \mathbb{R}^3$](img520.png)
の任意のベクトルは
と表される.
ここで
![$ \vec{\tilde{c}}=A^{-1}\vec{c}$](img1327.png)
とおいた.
![$ \tilde{c}_1=c_1$](img1328.png)
,
![$ \tilde{c}_2=-c_1+c_2$](img1329.png)
,
![$ \tilde{c}_3=-c_2+c_3$](img1330.png)
は任意の実数となる.
よって
が成り立つ.
![$ \{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}$](img1324.png)
は 1 次独立であり
![$ \mathbb{R}^3$](img520.png)
を生成するので,
![$ \mathbb{R}^3$](img520.png)
の基底となる.
例 3.116 (ベクトルで張られる空間の次元)
![$ \mathbb{R}[x]_2$](img410.png)
の基底のひとつに
![$ \{1,x,x^2\}$](img1332.png)
がある.
すなわち
![$ \{1,x,x^2\}$](img1332.png)
は 1 次独立であり
が成り立つ.
よって
![$ \dim(\mathbb{R}[x]_2)=3$](img1334.png)
となる.
次に次元
![$ \dim(\mathbb{R}[x]_2)=3$](img1334.png)
と同じ個数のベクトル
を考える.
これらのベクトルは
をみたす.
![$ \mathrm{rank}\,(A)=3$](img839.png)
であり
![$ A$](img265.png)
は正則であるので,
ベクトルの組
![$ \{f_1,f_2,f_3\}$](img1337.png)
は 1 次独立となる.
このとき
![$ \{f_1,f_2,f_3\}$](img1337.png)
は基底となる.
これを示す.
![$ \left(f_1,\,\,
f_2,\,\,
f_3\right)E=
\left(1,\,\,
x,\,\,
x^2\right)A$](img1338.png)
に対して右から
![$ A^{-1}$](img1339.png)
をかけると
が成り立つ.
![$ \mathbb{R}[x]_2$](img410.png)
の任意のベクトルは
となる.
ここで
![$ \tilde{\vec{c}}=A^{-1}\vec{c}$](img1344.png)
とおいた.
![$ \tilde{c}_1=c_0+c_2$](img1345.png)
,
![$ \tilde{c}_2=c_0$](img1346.png)
,
![$ \tilde{c}_3=-c_0+c_1-c_2$](img1347.png)
は任意の実数であるから,
が成り立つ.
![$ \{f_1,f_2,f_3\}$](img1337.png)
は一次独立であり
![$ \mathbb{R}[x]_2$](img410.png)
を生成するので,
![$ \mathbb{R}[x]_2$](img410.png)
の基底となる.
Kondo Koichi
平成18年1月17日