3.36 座標変換

定理 3.139 (座標変換)   ベクトル空間 $ V$ のベクトル $ \vec{a}$ に対して, 基底 $ \Sigma=\{\vec{u}_{1}$, $ \vec{u}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{n}\}$ に おける座標が $ (x_1,x_2,\cdots,x_n)_\Sigma$ であり, 基底 $ \Sigma'=
\{\vec{u}'_{1}$, $ \vec{u}'_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}'_{n}\}$ に おける座標が $ (x_1',x_2',\cdots,x_n')_{\Sigma'}$ であるとする. また, 基底 $ \Sigma$ に対する基底 $ \Sigma'$ の変換行列が $ P$ であるとする. すなわち $ P$

$\displaystyle \left(\vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n...
...ight)= \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n} \right)P$    

をみたすとする. このとき,

$\displaystyle \vec{x}$ $\displaystyle =P\vec{x}', \qquad \vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \...
...x}, \quad \vec{x}'= \begin{bmatrix}x_1' \\ x_2' \\ \vdots \\ x_n' \end{bmatrix}$    

が成立する. これを 座標 $ (x_1,\cdots,x_n)_{\Sigma}$ から 座標 $ (x'_1,\cdots,x'_n)_{\Sigma'}$ への 座標変換(coordinate transformation)という.


(証明)     ベクトル空間 $ V$ の任意のベクトル $ \vec{a}$ を考える. 基底 $ \Sigma=\{\vec{u}_{1}$, $ \vec{u}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{n}\}$ のとき の座標が $ (x_1,x_2,\cdots,x_n)_\Sigma$ であれば

$\displaystyle \vec{a}= x_{1}\vec{u}_{1}+ x_{2}\vec{u}_{2}+ \cdots+ x_{n}\vec{u}...
...= \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right)\vec{x}$    

となる. 基底 $ \Sigma'=
\{\vec{u}'_{1}$, $ \vec{u}'_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}'_{n}\}$ のとき の座標が $ (x_1',x_2',\cdots,x_n')_{\Sigma'}$ であれば

$\displaystyle \vec{a}= x'_{1}\vec{u}'_{1}+ x'_{2}\vec{u}'_{2}+ \cdots+ x'_{n}\v...
...eft(\vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n}\right)\vec{x}'$    

となる. これらのベクトルは等しいので,

$\displaystyle \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right)\vec{x}$ $\displaystyle = \left(\vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n}\right)\vec{x}'$    

と表される. ここで, 基底 $ \{\vec{u}_{1}$, $ \vec{u}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{n}\}$ に対する 基底 $ \{\vec{u}'_{1}$, $ \vec{u}'_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}'_{n}\}$ の 変換行列を $ P$ とおくとき,

$\displaystyle \left(\vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n...
...ight)= \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n} \right)P$    

が成り立つので,

$\displaystyle \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right)\vec{x}$ $\displaystyle = \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right)P\vec{x}'$    

を得る. これより, $ \vec{x}=P\vec{x}'$ が成り立つ.

3.140 (座標変換の具体例)   $ \mathbb{R}^2$ の点 $ (1,0),(0,1),(1,1)$ は, 標準基底

$\displaystyle \Sigma= \left\{ \vec{e}_{1},\vec{e}_{2} \right\}$    

における座標で表すと, $ (1,0)_{\Sigma},(0,1)_{\Sigma},(1,1)_{\Sigma}$ と 表される. これらの点を 基底

$\displaystyle \Sigma'= \{ \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2} \}= \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$    

における座標として表す. 基底 $ \Sigma$ から基底 $ \Sigma'$ への座標変換を考える. 基底 $ \Sigma$ に対する基底 $ \Sigma'$ の変換行列を $ P$ とおくと, $ U=EP$ より

$\displaystyle P=U= \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$    

となる. このとき座標変換は

$\displaystyle ($$\displaystyle )\quad$ $\displaystyle \vec{x}=P\vec{x}'$   $\displaystyle \Leftrightarrow\quad \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=...
...rix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_{1} \\ x'_{2} \end{bmatrix}$   $\displaystyle \Leftrightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} x_1=x'_1+x'_2 \\ [1ex] x_2=x'_1-x'_2 \end{array}\right.$    
$\displaystyle ($$\displaystyle )\quad$ $\displaystyle \vec{x}'=P^{-1}\vec{x}$   $\displaystyle \Leftrightarrow\quad \begin{bmatrix}x'_{1} \\ x'_{2} \end{bmatrix...
...{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}$   $\displaystyle \Leftrightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle{x'_1=...
...(x_1+x_2)} \\ [1ex] \displaystyle{x'_2=\frac{1}{2}(x_1-x_2)} \end{array}\right.$    

と表される. 点 $ (1,0)_{\Sigma}$, $ (0,1)_{\Sigma}$, $ (1,1)_{\Sigma}$ より

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}= 1\vec{e}_1+0\vec{e}...
...e}_2, \quad \vec{c}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}= 1\vec{e}_1+1\vec{e}_2$    

とおく. このとき座標変換より

  $\displaystyle \vec{a}'=P^{-1}\vec{a}= \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} ...
...1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\vec{u}_1+\frac{1}{2}\vec{u}_2,$    
  $\displaystyle \vec{b}'=P^{-1}\vec{b}= \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} ...
...}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\vec{u}_1-\frac{1}{2}\vec{u}_2,$    
  $\displaystyle \vec{c}'=P^{-1}\vec{c}= \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} ...
...{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} = \vec{u}_1$    

と表される. よって 座標 $ (1,0)_{\Sigma},(0,1)_{\Sigma},(1,1)_{\Sigma}$ は それぞれ $ \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)_{\Sigma'}$, $ \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)_{\Sigma'}$, $ (1,0)_{\Sigma'}$ となる.

また,座標 $ (x_1,x_2)$ における直線

$\displaystyle 2x_1+3x_2=0$    

を座標 $ (x'_1,x'_2)$ で表す.(☆)を代入すると

$\displaystyle 5x'_1-x'_2=0$    

を得る.

3.141 (座標変換の具体例)   $ \mathbb{R}^2$ において 2 組の基底

$\displaystyle \Sigma= \{ \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2} \}= \left\{ \begin{bmatri...
...matrix}2 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}3 \\ -1 \end{bmatrix} \right\},$    

とあるベクトル $ \vec{a}$ を考える. $ \vec{a}$ の基底 $ \Sigma$ における 座標が $ (x_1,x_2)=(2,-3)_{\Sigma}$ のとき, $ \vec{a}$

$\displaystyle \vec{a}= x_1\vec{u}_1+x_2\vec{u}_2= 2\vec{u}_1-3\vec{u}_2= \begin...
...ix} \begin{bmatrix}2 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \\ 5 \end{bmatrix}$    

となる. ベクトル $ \vec{a}$ の基底 $ \Sigma'$ における 座標 $ (x'_1,x'_2)$ を求める. ここで,

  $\displaystyle \vec{a}= x_1\vec{u}_1+x_2\vec{u}_2= x'_1\vec{v}_1+x'_2\vec{v}_2 \...
...x}\vec{v}_1 & \vec{v}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix}$    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad U\vec{x}=V\vec{x}' \quad\Leftrightarrow\quad \vec{x}=U^{-1}V\vec{x}'$    

より,座標 $ (x_1,x_2)_{\Sigma}$ から 座標 $ (x'_1,x'_2)_{\Sigma'}$ への 座標変換 $ \vec{x}=U^{-1}V\vec{x}'$ を得る. 座標 $ (x'_1,x'_2)_{\Sigma'}$ を得るためには $ V^{-1}U$ を左から掛けて

  $\displaystyle \vec{x}'=V^{-1}U\vec{x} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{bmatrix}...
...{bmatrix}4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$    

を用いる. これに数値を代入すると, ベクトル $ \vec{a}$ の基底 $ \Sigma'$ における 座標が $ \displaystyle{
(x_1',x_2')_{\Sigma'}=
\left(\frac{14}{5},-\frac{11}{5}\right)_{\Sigma'}}$ と得られる.

3.142 (座標変換の具体例)   $ \mathbb{R}[x]_2$ のベクトル $ f$ の 基底 $ \Sigma=\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$ における 座標が $ (1,-2,3)_{\Sigma}$ のとき, 基底 $ \Sigma'=\{1,\,\,1+x,\,\,1+x+x^2\}$ における 座標 $ (a'_0,a'_1,a'_2)_{\Sigma'}$ を求める. まず,$ f$ $ f=1-2x+3x^2$ であり, $ f=a_0'+a_1'(1+x)+a_2'(1+x+x^2)$ と書ける. これらが等しいので,

$\displaystyle 1-2x+3x^2$ $\displaystyle =a_0'+a_1'(1+x)+a_2'(1+x+x^2) =(a_0'+a_1'+a_2')+(a_1'+a_2')x+a_2'x^2$    
$\displaystyle \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}$ $\displaystyle = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}a_0'+a_1'+a_2' \\ ...
... 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_0' \\ a_1' \\ a_2' \end{bmatrix}$    

が成り立つ. $ \{1,\,\,x,\,\,x^2\}$ は 1 次独立であるから, 方程式

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ...
...}a_0' \\ a_1' \\ a_2' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}$    

を得る.これを解くと $ a_0'=3$, $ a_1'=-5$, $ a_2'=3$ となる. よって

$\displaystyle f=3-5(1+x)+3(1+x+x^2)$    

と表され,基底 $ \Sigma'$ における $ f$ の座標は $ (3,-5,3)_{\Sigma'}$ となる.

Kondo Koichi
平成18年1月17日