3.47 正規直交基底で生成される部分空間の直交補空間

3.190 (直交補空間の具体例)   $ \mathbb{R}^4$ において, $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_4\}$ を直交基底とする. このとき

$\displaystyle \mathbb{R}^4= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_...
...angle \oplus \left\langle \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3,\,\, \vec{u}_4 \right\rangle$    

が成り立つ. ここで

$\displaystyle W_1= \left\langle \vec{u}_1\right\rangle , \qquad W_{234}= \left\langle \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3,\,\, \vec{u}_4\right\rangle$    

とおくと, $ W_{234}$ $ \mathbb{R}^4$ における $ W_{1}$ の直交補空間となる. なぜなら任意のベクトル $ \vec{x}\in W_1$, $ \vec{y}\in W_{234}$ に対して

$\displaystyle \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)= \left({c_1\vec{u}_{1}}\,,\,...
...\,,\,{\vec{u}_3}\right)+ c_1c_{4}\left({\vec{u}_{1}}\,,\,{\vec{u}_{4}}\right)=0$    

が成り立ち,$ \vec{x}$$ \vec{y}$ は直交するからである. よって

$\displaystyle \mathbb{R}^4=W_1\oplus W_{234}, \qquad W_1\perp W_{234}$    

であり, $ \mathbb{R}^4$$ W_1$ とその直交補空間 $ W_{234}$ に よって直和分解される. 同様に

$\displaystyle \mathbb{R}^4$ $\displaystyle =W_1\oplus W_{234},\qquad W_{1}\perp W_{234}$    
  $\displaystyle =W_2\oplus W_{134},\qquad W_{2}\perp W_{134}$    
  $\displaystyle =W_3\oplus W_{124},\qquad W_{3}\perp W_{124}$    
  $\displaystyle =W_{12}\oplus W_{34},\qquad W_{12}\perp W_{34}$    
  $\displaystyle =W_{13}\oplus W_{24},\qquad W_{13}\perp W_{24}$    
  $\displaystyle =W_{14}\oplus W_{23},\qquad W_{14}\perp W_{23}$    

と部分空間とのその直交補空間とで直和分解される. ただし,

$\displaystyle W_{i}= \left\langle \vec{u}_i\right\rangle ,\quad W_{ij}= \left\l...
...quad W_{ijk}= \left\langle \vec{u}_i,\,\, \vec{u}_j,\,\, \vec{u}_k\right\rangle$    

とおく.

3.191 (直交補空間の具体例)   直交基底 $ \{\vec{u}_{1},\cdots,\vec{u}_{n}\}$ で 生成されるベクトル空間

$\displaystyle V= \left\langle \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{k},\,\, \vec{u}_{k+1},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right\rangle$    

を考える.このとき $ V$ は直和分解されて

$\displaystyle V=W_{1}\oplus V_1, \qquad W_{1}= \left\langle \vec{u}_{1},\,\, \v...
...\quad V_1= \left\langle \vec{u}_{k+1},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right\rangle$    

と表される. $ V_1$$ V$ における $ W_1$ の直交補空間である. さらに $ V_1$ を直和分解して

$\displaystyle V_1=W_{2}\oplus V_2, \qquad W_{2}= \left\langle \vec{u}_{k+1},\,\...
...eft\langle \vec{u}_{l+1},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right\rangle , \qquad k<l$    

と表される. $ V_2$$ V_1$ における $ W_2$ の直交補空間である. 同様に繰り返して直交補空間で直和分解が可能である:

$\displaystyle V=W_{1}\oplus V_1 =W_{1}\oplus(W_2\oplus V_2) =W_{1}\oplus(W_2\oplus(W_3\oplus V_3)) =\cdots.$    

Kondo Koichi
平成18年1月17日