4.4 一般の基底に関する表現行列

定理 4.21 (線形写像の表現行列)   $ \mathbb{R}^n$, $ \mathbb{R}^m$ の基底をそれぞれ $ \Sigma'=\{\vec{u}_1$, $ \cdots$, $ \vec{u}_n\}$, $ \Pi'=\{\vec{v}_1$, $ \cdots$, $ \vec{v}_m\}$ とする. また, $ \mathbb{R}^n$, $ \mathbb{R}^m$ の座標をそれぞれ $ (x'_1,\cdots,x'_n)_{\Sigma'}$, $ (y'_1,\cdots,y'_m)_{\Pi'}$ とおく. このとき, 任意の線形写像 $ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$

  $\displaystyle \vec{y}'= B\vec{x}'= (Q^{-1}AP)\vec{x}',$    
  $\displaystyle \vec{y}'= \begin{bmatrix}y'_1 \\ \vdots \\ y'_m \end{bmatrix}, \q...
...{bmatrix}, \quad Q= \begin{bmatrix}\vec{v}_1 & \cdots & \vec{v}_m \end{bmatrix}$    

行列表示で書ける. ただし, $ A$ $ \mathbb{R}^n$ の標準基底 $ \Sigma$ $ \mathbb{R}^m$ の標準基底 $ \Pi$ に関する $ f$ の表現行列とする. また, $ P$$ \Sigma$ に対する $ \Sigma'$ の基底の変換行列であり, $ Q$$ \Pi$ に対する $ \Pi'$ の基底の変換行列である. $ B=Q^{-1}AP$ $ \mathbb{R}^n$ の基底 $ \Sigma'$ $ \mathbb{R}^m$ の基底 $ \Pi'$ に 関する表現行列という.

4.22 (基底を取り換えたときの表現行列の具体例)   線形写像 $ f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$;

$\displaystyle \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}= \begin{bmatrix}2 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \vec{x}$    

を考える. $ \mathbb{R}^{3}$ の基底を

$\displaystyle \Sigma'= \{\vec{u}_{1},\,\,\vec{u}_{2},\,\,\vec{u}_{3}\} = \left\...
... \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$    

とし, $ \mathbb{R}^{2}$ の基底を

$\displaystyle \Pi'= \{\vec{v}_{1},\,\,\vec{v}_{2}\} = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$    

とする. 基底 $ \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{u}_{3}\}$ と 基底 $ \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}$ に関する $ f$ の表現行列 $ B$ を求める. まず, $ \mathbb{R}^3$, $ \mathbb{R}^2$ の任意のベクトルはそれぞれ

$\displaystyle \mathbb{R}^3\ni \vec{x}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_1\vec{e}_1+x...
..._3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{bmatrix} = U\vec{x}',$    
$\displaystyle \mathbb{R}^2\ni \vec{y}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = y_1\tilde{\vec{e}}_1+...
...& \vec{v}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}y'_1 \\ y'_2 \end{bmatrix} = V\vec{y}'$    

と表される. $ U$ $ \mathbb{R}^3$ の 標準基底 $ \Sigma=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}$ から 基底 $ \Sigma'=\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ への 基底の変換行列であり, $ V$ $ \mathbb{R}^2$ の 標準基底 $ \Pi=\{\tilde{\vec{e}}_1,\tilde{\vec{e}}_2\}$ から 基底 $ \Pi'=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}$ への 基底の変換行列である. $ \vec{x}=U\vec{x}'$ は 座標 $ (x_1,x_2,x_3)_{\Sigma}$ から 座標 $ (x'_1,x'_2,x'_3)_{\Sigma'}$ への座標変換を表し, 同様に, $ \vec{y}=V\vec{y}'$ は 座標 $ (y_1,y_2)_{\Pi}$ から 座標 $ (y'_1,y'_2)_{\Pi'}$ への座標変換を表す. このとき,

$\displaystyle \vec{y}$ $\displaystyle =f(\vec{x})= f(x'_1\vec{u}_1+ x'_2\vec{u}_2+ x'_3\vec{u}_3)= x'_1f(\vec{u}_1)+ x'_2f(\vec{u}_2)+ x'_3f(\vec{u}_3)$    
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}f(\vec{u}_1) & f(\vec{u}_2) & f(\vec{u}_3) \end{...
...in{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_3 \end{bmatrix} \vec{x}'= AU\vec{x}'$    

となるので, $ V\vec{y}'=AU\vec{x}'$ より

$\displaystyle \vec{y}'= (V^{-1}AU)\vec{x}'= B\vec{x}'$    

が成り立つ.よって $ B$

$\displaystyle B=V^{-1}AU= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}^{-1} \beg...
... 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}17 & 17 & 7 \\ -5 & -6 & -2 \end{bmatrix}$    

により定まる. あらためて行列表示すると

$\displaystyle \begin{bmatrix}y'_1 \\ y'_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}17 & 1...
...\\ -5 & -6 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{bmatrix}$    

と表される.

Kondo Koichi
平成18年1月17日