4.5 線形変換

定義 4.23 (線形変換)   ベクトル空間 $ U$ から自分自身への線形写像 $ f:U\to U$線形変換(linear transformation)という.

定理 4.24 (線形写像の表現行列)   $ \mathbb{R}^n$ の基底を $ \Sigma'=\{\vec{u}_1$, $ \cdots$, $ \vec{u}_n\}$ とし, 座標を $ (x'_1$, $ \cdots$, $ x'_n)_{\Sigma'}$ とおく. このとき, 任意の線形変換 $ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$

  $\displaystyle \vec{y}'= B\vec{x}'= (P^{-1}AP)\vec{x}', \qquad \vec{y}'= \begin{...
...{bmatrix}, \quad P= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \cdots & \vec{u}_n \end{bmatrix}$    

行列表示で書ける. ただし, $ A$ $ \mathbb{R}^n$ の標準基底 $ \Sigma$ に関する $ f$ の表現行列とする. また, $ P$$ \Sigma$ に対する $ \Sigma'$ の基底の変換行列であり, $ B=P^{-1}AP$ $ \mathbb{R}^n$ の基底 $ \Sigma'$ に関する表現行列という.

4.25 (線形変換の表現行列の基底の取り替えの具体例)   線形変換 $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$;

$\displaystyle \vec{y}= \begin{bmatrix}7 & -6 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\vec{x}=A\vec{x}$    

の基底

$\displaystyle \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}= \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$    

における表現行列 $ B$ を求める. $ \mathbb{R}^2$ の任意のベクトルは

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x _2 \end{bmatrix} = x_1\vec{e}_1+...
...& \vec{u}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix} = U\vec{x}'$    

と表される. $ U$ $ \mathbb{R}^2$ の 標準基底 $ \Sigma=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ に対する 基底 $ \Sigma'=\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ の基底の変換行列であり, $ \vec{x}=U\vec{x}'$ は 座標 $ (x_0,x_1)_{\Sigma}$ から 座標 $ (x'_0,x'_1)_{\Sigma'}$ への座標変換を表す. $ \vec{y}\in\mathbb{R}^2$ であるから, 同様に $ \vec{y}=U\vec{y}'$ が成り立つ. これより,

$\displaystyle U\vec{y}'$ $\displaystyle =\vec{y}= f(\vec{x})= f(x'_1\vec{u}_1+x'_2\vec{u}_2)= x'_1f(\vec{...
...ec{u}_1) & f(\vec{u}_2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix}$    
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}A\vec{u}_1 & A\vec{u}_2 \end{bmatrix} \vec{x}' = A \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix} \vec{x}' = AU\vec{x}'$    

となるので,

$\displaystyle \vec{y}'=(U^{-1}AU)\vec{x}'=B\vec{x}'$    

が成立する. よって基底 $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ に関する $ f$ の表現行列 $ B$

$\displaystyle B= U^{-1}AU= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \be...
...trix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$    

により定まる. また,基底 $ \Sigma'=\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ に関する 行列表示は

$\displaystyle \begin{bmatrix}y'_1 \\ y'_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix}$    

であり,

$\displaystyle y'_1=x'_1, \qquad y'_2=4x'_2$    

とも書ける. 座標系 $ \Sigma'$ において線形写像 $ f$ は, $ x'_1$ 軸方向は変化せず, $ x'_2$ 軸方向は $ 4$ 倍となる変換である.

Kondo Koichi
平成18年1月17日