4.6 一般の線形写像の表現行列

$ n$ 次元のベクトル空間 $ U$$ m$ 次元のベクトル空間 $ V$ において, 基底をそれぞれ $ \Sigma=\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$, $ \Pi=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$ とすると, $ U$, $ V$ の任意のベクトルはそれぞれ

$\displaystyle ($$\displaystyle )\quad U\ni\vec{x}$ $\displaystyle = \tilde{x}_1\vec{u}_1+ \tilde{x}_2\vec{u}_2+ \cdots+ \tilde{x}_n...
...\left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)\vec{\tilde{x}}$    
$\displaystyle ($$\displaystyle )\quad V\ni\vec{y}$ $\displaystyle = \tilde{y}_1\vec{v}_1+ \tilde{y}_2\vec{v}_2+ \cdots+ \tilde{y}_m...
...\left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m\right)\vec{\tilde{y}}$    

と表される. このとき, 線形写像 $ f:U\to V$; $ \vec{y}=f(\vec{x})$

$\displaystyle \vec{y}$ $\displaystyle =f(\vec{x})= f(\tilde{x}_1\vec{u}_1+ \tilde{x}_2\vec{u}_2+ \cdots...
...begin{bmatrix}\tilde{x}_1 \\ \tilde{x}_2 \\ \vdots \\ \tilde{x}_n \end{bmatrix}$    
$\displaystyle ($$\displaystyle ) \qquad$ $\displaystyle = \left(f(\vec{u}_1),\,\, f(\vec{u}_2),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}_n)\right)\vec{\tilde{x}}$    

となる. ベクトル $ f(\vec{u}_1)$, $ f(\vec{u}_2)$, $ \cdots$, $ f(\vec{u}_n)$$ V$ のベクトルであるから, 基底 $ \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$ を用いて

$\displaystyle f(\vec{u}_1)$ $\displaystyle = a_{11}\vec{v}_1+ a_{21}\vec{v}_2+ \cdots+ a_{m1}\vec{v}_m,$    
$\displaystyle f(\vec{u}_2)$ $\displaystyle = a_{12}\vec{v}_1+ a_{22}\vec{v}_2+ \cdots+ a_{m2}\vec{v}_m,$    
  $\displaystyle \qquad \vdots$    
$\displaystyle f(\vec{u}_n)$ $\displaystyle = a_{1n}\vec{v}_1+ a_{2n}\vec{v}_2+ \cdots+ a_{mn}\vec{v}_m$    

と表されるので

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad \left(f(\vec{u}_1),\,\, f(\vec{u}_2),\,\, \cdots,\,\, f(\...
...\, \vec{v}_m\right)A, \qquad A= \begin{bmatrix}a_{ij} \end{bmatrix}_{m\times n}$    

と書ける. 以上より(▲), (☆), (★)より

$\displaystyle \left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m\right)\...
...left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m\right)A\vec{\tilde{x}}$    

を得る. $ \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$ は 1 次独立であるから

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad \vec{\tilde{y}}=A\vec{\tilde{x}}$    

が成り立つ. 線形写像 $ \vec{\tilde{y}}=\varphi(\vec{\tilde{x}})=A\vec{\tilde{x}}$ により 線形写像 $ \vec{y}=f(\vec{x})$ が定まる.

注意 4.26 (一般のベクトル空間における線形写像)   一般のベクトル空間における線形写像 $ f$ と 数ベクトル空間における線形写像 $ \varphi$ とを 次のように同一視する:

$\displaystyle U \quad$ $\displaystyle \Leftrightarrow\quad \mathbb{R}^{n}$    
$\displaystyle V \quad$ $\displaystyle \Leftrightarrow\quad \mathbb{R}^{m}$    
$\displaystyle \vec{x}\in U \quad$ $\displaystyle \Leftrightarrow\quad \vec{\tilde{x}}\in\mathbb{R}^{n}$    
$\displaystyle \vec{y}\in V \quad$ $\displaystyle \Leftrightarrow\quad \vec{\tilde{y}}\in\mathbb{R}^{m}$    
$\displaystyle f:U\to V \quad$ $\displaystyle \Leftrightarrow\quad \varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$    
$\displaystyle \vec{y}=f(\vec{x}) \quad$ $\displaystyle \Leftrightarrow\quad \vec{\tilde{y}}=A\vec{\tilde{x}}$    

定義 4.27 (線形写像の表現行列)   ベクトル空間 $ U$ の基底を $ \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$ とし, ベクトル空間 $ V$ の基底を $ \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$ とする. このとき, 線形写像 $ f:U\to V$

$\displaystyle \left(f(\vec{u}_{1}),\,\, f(\vec{u}_{2}),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{...
...}_{1},\,\, \vec{v}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_{m}\right)A, \qquad A:m\times n$    

をみたすとき, 行列 $ A$$ U$ の基底 $ \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$$ V$ の基底 $ \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$ に関する 表現行列という.

定理 4.28 (線形写像の行列表示)   線形写像 $ f:U\to V$ において, ベクトル空間 $ U$ の基底が $ \Sigma=\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$ であり, その基底における座標を $ (\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\cdots,\tilde{x}_n)_{\Sigma}$ とし, ベクトル空間 $ V$ の基底が $ \Pi=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$ であり, その基底における座標を $ (\tilde{y}_1,\tilde{y}_2,\cdots,\tilde{y}_m)_{\Pi}$ とする. このとき, 行列 $ A$$ f$ の表現行列であることと,

$\displaystyle \vec{\tilde{y}}=A\vec{\tilde{x}}, \qquad \tilde{x}= \begin{bmatri...
...begin{bmatrix}\tilde{y}_1 \\ \tilde{y}_2 \\ \vdots \\ \tilde{y}_m \end{bmatrix}$    

が成り立つこととは,必要十分条件である.

注意 4.29 (表現行列)   $ U=\mathbb{R}^{n}$, $ V=\mathbb{R}^{m}$ とし, $ \mathbb{R}^{n}$ の基底を標準基底 $ \{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\cdots,\vec{e}_{n}\}$ とし, $ \mathbb{R}^{m}$ の基底を標準基底 $ \{\vec{e}'_{1},\vec{e}'_{2},\cdots,\vec{e}'_{m}\}$ とする. このとき $ \vec{x}=\vec{\tilde{x}}$, $ \vec{y}=\vec{\tilde{y}}$ となるから, (♭)は $ \vec{y}=A\vec{x}$ となる. よって, 本節の表現行列の定義により定まる $ A$ と 前節の表現行列の定義により定まる $ A$ とは, この条件のもとで一致する.

注意 4.30 (表現行列)   線形写像 $ \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ の標準基底に おける表現行列は $ A$ である.

定理 4.31 (基底を取り換えたときの表現行列)   線形写像 $ f:U\to V$ において $ U$ の基底 $ \{\vec{u}_{1}$, $ \vec{u}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{n}\}$$ V$ の基底 $ \{\vec{v}_{1}$, $ \vec{v}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{v}_{m}\}$ に 関する表現行列を $ A$ とする. すなわち,

$\displaystyle \left(f(\vec{u}_{1}),\,\, f(\vec{u}_{2}),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{...
...ight)= \left(\vec{v}_{1},\,\, \vec{v}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_{m} \right)A$    

とする. $ U$ の基底 $ \{\vec{u}'_{1}$, $ \vec{u}'_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}'_{n}\}$$ V$ の基底 $ \{\vec{v}'_{1}$, $ \vec{v}'_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{v}'_{m}\}$ に 関する表現行列を $ B$ とする. すなわち,

$\displaystyle \left(f(\vec{u}'_{1}),\,\, f(\vec{u}'_{2}),\,\, \cdots,\,\, f(\ve...
...t)= \left(\vec{v}'_{1},\,\, \vec{v}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{v}'_{m} \right)B$    

とする. このとき

$\displaystyle B=Q^{-1}AP$    

が成り立つ. ここで $ P$, $ Q$ は基底の変換行列であり,

$\displaystyle \left(\vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n...
...ight)= \left(\vec{v}_{1},\,\, \vec{v}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_{m} \right)Q$    

である.


(証明)     まず,

  $\displaystyle \left(f(\vec{u}'_1),\,\, f(\vec{u}'_2),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}'_n) \right)$    
  $\displaystyle = \left(f\left(\sum_{k}p_{k1}\vec{u}'_k\right),\,\, f\left(\sum_{...
...vec{u}'_k\right),\,\, \cdots,\,\, f\left(\sum_{k}p_{kn}\vec{u}'_k\right)\right)$    
  $\displaystyle = \left(\sum_{k}p_{k1}f(\vec{u}'_k),\,\, \sum_{k}p_{k2}f(\vec{u}'_k),\,\, \cdots,\,\, \sum_{k}p_{kn}f(\vec{u}'_k) \right)$    
  $\displaystyle = \left(f(\vec{u}_1),\,\, f(\vec{u}_2),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}_n) \right)P$    
  $\displaystyle = \left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m \right)AP$    

が成り立つ.また,

  $\displaystyle \left(f(\vec{u}'_1),\,\, f(\vec{u}'_2),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}...
... \right)B = \left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m \right)QB$    

となる.よって,$ AP=QB$ であり

  $\displaystyle B=Q^{-1}AP$    

が成り立つ.

定理 4.32 (線形変換の表現行列の基底の取り替え)   ベクトル空間 $ U$ の基底 $ \{\vec{u}_1$, $ \cdots$, $ \vec{u}_n\}$ における 線形変換 $ f$ の表現行列を $ A$ とし, 基底 $ \{\vec{u}'_1,\cdots,\vec{u}'_n\}$ における $ f$ の表現行列を $ B$ とする. また,基底 $ \{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\}$ から 基底 $ \{\vec{u}'_1,\cdots,\vec{u}'_n\}$ への 基底の変換行列を $ P$ とする. このとき

$\displaystyle B=P^{-1}AP$    

が成り立つ.


(証明)     まず,表現行列 $ A$, $ B$ は定義より

  $\displaystyle \left(f(\vec{u}_1),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}_n)\right)= \left(\v...
...\,\, f(\vec{u}'_n)\right)= \left(\vec{u}'_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_n\right)B$    

をみたす.基底の変換行列 $ P$

  $\displaystyle \left(\vec{u}'_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_n\right)= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)P$    

をみたす. このとき

  $\displaystyle \left(f(\vec{u}'_1),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}'_n)\right)= \left(...
...\,\, f(\vec{u}_n)\right)P= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)AP,$    
  $\displaystyle \left(f(\vec{u}'_1),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}'_n)\right)= \left(...
...ts,\,\, \vec{u}'_n\right)B= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)PB$    

が成り立つので $ AP=PB$ となる. よって $ B=P^{-1}AP$ を得る.

4.33 (表現行列の基底の取り替えの具体例)   線形変換 $ F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$;

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad g(x)=F(f(x))=f'(x)x+f(0)x^2+f(1)$    

の表現行列を求める. $ \mathbb{R}[x]_2$ の基底を $ \{1,\,\,x,\,\,x^2\}$ とし, 多項式 $ f(x)$, $ g(x)$ を表すと

$\displaystyle ($$\displaystyle ) \qquad$ $\displaystyle f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\vec{a},$    
$\displaystyle ($$\displaystyle ) \qquad$ $\displaystyle g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}b_0 \\ b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\vec{b}$    

となる. このとき(☆)より

$\displaystyle g(x)$ $\displaystyle =F(f(x))=F(a_0+a_1x+a_2x^2)= a_0F(1)+a_1F(x)+a_2F(x^2)$    
  $\displaystyle = \left(F(1),\,\, F(x),\,\, F(x^2)\right)\begin{bmatrix}a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}= \left(F(1),\,\, F(x),\,\, F(x^2)\right)\vec{a}$    

となる. ここで, $ f=1$, $ f=x$, $ f=x^2$ を(☆)に代入すると それぞれ $ g=1+x^2$, $ g=1+x$, $ 1+2x^2$ となるので,

$\displaystyle \left(F(1),\,\, F(x),\,\, F(x^2)\right)$ $\displaystyle = \left(1+x^2,\,\, 1+x,\,\, 1+2x^2\right)= \left(1,\,\, x,\,\, x^...
... 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)A$    

を得る. $ A$ は基底 $ \{1,\,\,x,\,\,x^2\}$ に関する $ F$ の表現行列である. これを代入すると

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad g(x)= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)A \vec{a}$    

となる. (▲)と比較すると $ \vec{b}=A\vec{a}$ が成立する. よって,線形変換 $ F$

$\displaystyle \varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; \qquad \vec{b}=\varphi(\vec{...
...1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$    

と行列表示で書かれた線形変換 $ \varphi$ と等価である.

次に基底 $ \{1+x, \,\,x+x^2, \,\,x^2\}$ に関する 表現行列 $ B$ を求める. すなわち,$ B$

$\displaystyle \left(F(1+x),\,\, F(x+x^2),\,\, F(x^2)\right)= \left(1+x,\,\, x+x^2,\,\, x^2\right)B$    

をみたす. 基底 $ \{1,\,\,x,\,\,x^2\}$ から $ \{1+x, \,\,x+x^2, \,\,x^2\}$ への 変換行列 $ P$

$\displaystyle \left(1+x,\,\, x+x^2,\,\, x^2\right)= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\rig...
...0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)P$    

により与えられる. このとき,多項式 $ f(x)$, $ g(x)$

$\displaystyle ($$\displaystyle )\quad f(x)$ $\displaystyle = \tilde{a}_0(1+x)+\tilde{a}_1(x+x^2)+\tilde{a}_2x^2$    
  $\displaystyle = \left(1+x,\,\, x+x^2,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}\tilde{a}_0 ...
...,\, x^2\right)\vec{\tilde{a}} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)P\vec{\tilde{a}},$    
$\displaystyle ($$\displaystyle )\quad g(x)$ $\displaystyle = \tilde{b}_0(1+x)+\tilde{b}_1(x+x^2)+\tilde{b}_2x^2$    
  $\displaystyle = \left(1+x,\,\, x+x^2,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}\tilde{b}_0 ...
...\,\, x^2\right)\vec{\tilde{b}} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)P\vec{\tilde{b}}$    

となる. (△), (▲)と(□), (■)とを比較すると

$\displaystyle \vec{a}=P\vec{\tilde{a}}, \qquad \vec{b}=P\vec{\tilde{b}} \qquad\...
...arrow\qquad \vec{\tilde{a}}=P^{-1}\vec{a}, \qquad \vec{\tilde{b}}=P^{-1}\vec{b}$    

を得る. これは基底 $ \Sigma=\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$ における 座標 $ (a_0,a_1,a_2)_{\Sigma}$ と 基底 $ \Sigma'=\{1+x,\,\,x+x^2,\,\,x^2\}$ における 座標 $ (\tilde{a}_0,\tilde{a}_1,\tilde{a}_2)_{\Sigma'}$ との座標変換を表す. (♭), (□), (■)より

$\displaystyle g(x)= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)P\vec{\tilde{b}} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)A\vec{a}= \left(1,\,\, x,\,\,, x^2\right)AP\vec{\tilde{a}}$    

となるので, $ P\vec{\tilde{b}}=AP\vec{\tilde{a}}$ となり,

$\displaystyle \vec{\tilde{b}}= (P^{-1}AP)\vec{\tilde{a}}= B\vec{\tilde{a}}$    

を得る. 以上より基底 $ \Sigma'=\{1+x,\,\,x+x^2,\,\,x^2\}$ に関する $ F$ の表現行列 $ B$

$\displaystyle B=P^{-1}AP= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \e...
...nd{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 2 & 1 \\ -1 &-1 &-1 \\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix}$    

と得られる. よって,基底 $ \Sigma'$ に関する線形変換 $ F$ の行列表示は

$\displaystyle \tilde{\varphi}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; \qquad \tilde{\vec{b...
...bmatrix} \begin{bmatrix}\tilde{a}_0 \\ \tilde{a}_1 \\ \tilde{a}_2 \end{bmatrix}$    

となる.

Kondo Koichi
平成18年1月17日