6.13 定積分と不定積分

定理 6.65 (定積分と不定積分の関係)  

$$S(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt$$

に対して

$$\frac{dS}{dx}=S'(x)=\frac{d}{dx}\int_0^xf(t)\,dt=f(x)$$

が成り立つ．

（証明）    

$$S(x+h)-S(x)= \int_{0}^{x+h}f(t)\,dt- \int_{0}^{x}f(t)\,dt = \int_{x}^{x+h}f(t)\,dt = f(\xi)h, \qquad x<\exists\xi<x+h$$

が成り立つので，

$$S'=\lim_{h\to0}\frac{S(x+h)-S(x)}{h}= \lim_{h\to0}f(\xi)=f(x)$$

を得る．

注意 6.66 (定積分と不定積分の関係)  

$$S'(x)=f(x) \quad\Rightarrow\quad S(x)=\int f(x)dx+C= F(x)+C$$

定理 6.67 (定積分と不定積分の関係)   関数 $f(x)$ の不定積分から得られる原始関数の一つを

$$F(x)=\int f(x)\,dx$$

とする．このとき $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分は

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)= \Big[F(x)\Big]_{a}^{b}=F(x)\Big\vert _{x=a}^{x=b}$$

と表される．

（証明）    

$$\int_{a}^{b}f(t)\,dt= \int_{0}^{b}f(t)\,dt- \int_{0}^{a}f(t)\,dt= S(b)-S(a)= (F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)\,.$$

例 6.68 (定積分の計算例)  

$$\int_{a}^{b}\alpha\,dx= \alpha\int_{a}^{b}\,dx= \alpha\Big[x\Big]_{a}^{b}= \alpha(b-a)\,.$$

これは長方形の面積を表す．

例 6.69 (定積分の計算例)  

$$\int_{a}^{b}x\,dx= \left[\frac{x^2}{2}\right]_{a}^{b}= \frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{2}= \frac{1}{2}(b^2-a^2)= \frac{1}{2}(b-a)(b+a)\,.$$

これは台形の面積を表す．

例 6.70 (定積分の計算例)  

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx= \Big[\sin x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}= \sin\frac{\pi}{2}-\sin 0= 1-0=1\,.$$

例 6.71 (定積分の計算例)  

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} = \Big[\mathrm{Tan}^{-1} x\Big]_{0}^{1}= \mathrm{Tan}^{-1}(1)-\mathrm{Tan}^{-1}(0)= \frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}\,.$$

例 6.72 (定積分の計算例)  

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} =\sinh^{-1}(1)=\log(1+\sqrt{2})\,.$$

Kondo Koichi
平成19年1月23日