2.11 等比数列

例 2.37 (等比級数)   等比数列 $\{a_{n}=a\,r^{n-1}\}$ の無限和を 等比級数（geometrical progression series）と呼び，

$$S=\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{n-1}$$

と書き表す． 等比級数は

$$S=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{a}{1-r}} & (\vert r\vert< 1) \\ [1em] \text{発散} & (\vert r\vert\ge 1) \end{array} \right.$$

となる．

（証明） 第 $n$ 部分和

$$S_{n} =\sum_{k=1}^{n}a\,r^{k-1}=a(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})$$

を考える． $r=1$ のとき，

$$S_{n}=a(1+1+\cdots+1)=a\,n$$

となる． つぎに $r\neq 1$ のとき，等式

$$1-r^n=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})$$

を用いると $S_{n}$ は

$$S_{n}=a\frac{1-r^{n}}{1-r}$$

と書ける． 以上より

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \left\{ \begin{array}{lc} \displaystyle... ...& (-1<r<1)\\ [2ex] \displaystyle{\text{不確定}} & (r\leq-1) \end{array} \right.$$

となる． ただし無限大の符号は $a$ の符号 $\mathrm{sgn}\,(a)=a/\vert a\vert$ で決まる． 証明終り．

問 2.38 (1を根にもつ多項式の因数分解)   次の等式を示せ．

$$1-r^{n}=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})\,.$$

注意 2.39 (初項が異なる級数)   級数が

$$S=\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}$$

と定義されるときの値を考える． 部分和は

$$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}a\,r^{n}= a(1+r+r^2+\cdots+r^{n})= a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$$

となるから， 結局級数は

$$S= \lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty}a\frac{1-r^{n+1}}{1-r... ...(\vert r\vert<1) \\ [1ex] \text{発散} & (\vert r\vert\geq1) \end{array} \right.$$

と得られる．

注意 2.40 (等比級数の有理式表現)   $\vert r\vert<1$ のとき

$$\frac{1}{1-r}=1+r+r^2+r^3+\cdots$$

となる． この式は $1$ を $1-r$ で割ることでも導出される． すなわち，

$$\frac{1}{1-r} =1+\frac{r}{1-r}$$

$$=1+r+\frac{r^2}{1-r}$$

$$=1+r+r^2+\frac{r^3}{1-r}$$

$$=1+r+r^2+r^3+\frac{r^4}{1-r}$$

$$=1+r+r^2+r^3+\cdots$$

のように低次項を主項として割り算を無限回続ける．

例 2.41 (等比級数の具体例)  

$$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots$$

$$=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots\right)$$

$$=a(1+r+r^2+\cdots)$$

$$=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1\,.$$

または

$$S_{n} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}= \frac{1}{2}+ \left(\frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac{1}{2}\right)^3+\cdots+ \left(\frac{1}{2}\right)^n$$

$$= \frac{1}{2}\left\{ 1+\frac{1}{2}+ \left(\frac{1}{2}\right)^2+\cdots+ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\}$$

$$= \frac{1}{2}\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}= 1-\frac{1}{2^n}$$

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=1$$

例 2.42 (等比級数の具体例)  

$$S= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n} = 1+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2+ \left(\frac{1}{3}\right)^3+\cdots$$

$$=a(1+r+r^2+r^3+\cdots)$$

$$=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$$

または

$$S_{n} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{3^k}= 1+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2+ \left(\frac{1}{3}\right)^3+\cdots+ \left(\frac{1}{3}\right)^n$$

$$= \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}= \frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{3^n}$$

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{3^n}\right)=\frac{3}{2}$$

例 2.43 (等比級数の具体例)  

$$0.9999\cdots = 1\,.$$

（証明）

$$0.999\cdots =9\times(0.111\cdots) =9\times\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^{n}$$

$$=\frac{9}{10}\left(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\cdots\right)$$

$$=a(1+r+r^2+\cdots)$$

$$=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=1\,.$$

問 2.44 (級数の計算)  

$$(1)\quad\sum_{n=0}^{\infty}a\,r^{n}\qquad (2)\quad\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{n}\qquad (3)\quad\sum_{n=2}^{\infty}a\,r^{n}$$

$$(4)\quad \sum_{n=0}^{\infty} \left\{ \left(\frac{2}{3}\right)^{n}+\left(\frac{1}{4}\right)^{n} \right\}$$

$$(5)\quad \sum_{n=3}^{\infty}\frac{2\cdot 3^n+3\cdot 4^n}{4\cdot 5^n}$$

Kondo Koichi
平成19年1月23日