5.8 における線形変換の固有空間

例 5.21 (多項式の空間における固有値問題の具体例) 線形変換 $F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$ ;

$\displaystyle g(x)=F(f(x))=f(1+2x)$

の固有値，固有空間を求める．

まず，線形変換の表現行列を求める．基底 $\Sigma=\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$ のもとで多項式 , の座標を $(a_0,a_1,a_2)_{\Sigma}$ , $(b_0,b_1,b_2)_{\Sigma}$ として表すと，

$\displaystyle ($ △ $\displaystyle ) \qquad$	$\displaystyle f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\vec{a},$
$\displaystyle ($ ▲ $\displaystyle ) \qquad$	$\displaystyle g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}b_0 \\ b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\vec{b}$

と書ける．このとき，をで写すと

$\displaystyle g(x)$	$\displaystyle =F(f(x))=F(a_0+a_1x+a_2x^2)= a_0F(1)+a_1F(x)+a_2F(x^2)$
	$\displaystyle = \left(F(1),\,\, F(x),\,\, F(x^2)\right)\begin{bmatrix}a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}= \left(F(1),\,\, F(x),\,\, F(x^2)\right)\vec{a}$

となる．ここで

$\displaystyle \left(F(1),\,\, F(x),\,\, F(x^2)\right)$	$\displaystyle = \left(1,\,\, 1+2x,\,\, (1+2x)^2\right)= \left(1,\,\, 1+2x,\,\, 1+4x+4x^2\right)$
	$\displaystyle = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{bmatrix} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)A$

であるから，代入すると

$\displaystyle ($ ☆ $\displaystyle )\qquad g(x)= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)A \vec{a}$

が得られる．がの基底 $\Sigma$ に関する表現行列である．また，この結果は

$\displaystyle g(x)$	$\displaystyle =F(f(x))=f(1+2x)=a_0+a_1(1+2x)+a_2(1+2x)^2$
	$\displaystyle =(a_0+a_1+a_2)+(2a_1+4a_2)x+4a_2x^2$
	$\displaystyle = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}a_0+a_1+a_2 \\ 2a_... ...matrix}a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)A\vec{a}$

としても得られる． (▲)と(☆)より，線形変換は

$\displaystyle \varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; \qquad \vec{b}=\varphi(\vec{a})=A\vec{a}$

により定義される線形変換 $\varphi$ と等価である．

次にの固有値を求める．に関する固有方程式は $F(f)=\lambda\,f$ である． (☆)と(△)を用いると

$\displaystyle g(x)=F(f(x))= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)A\vec{a}, \qquad \lambda f(x)= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)(\lambda\vec{a})$

と表されるので，固有方程式は

$\displaystyle (◎)\qquad A\vec{a}=\lambda\vec{a}$

と等価である．つまり行列に関する固有値問題を解けばよい．の固有多項式との固有多項式は等しく，

$\displaystyle g_F(t)=g_A(t)=\det(tE-A)= \begin{vmatrix}t-1 & -1 & -1 \\ 0 & t-2 & -4 \\ 0 & 0 & t-4 \end{vmatrix} = (t-1)(t-2)(t-4)$

となる． $g_F(\lambda)=0$ より固有値は $\lambda=1,2,4$ である．

の固有空間を求める．固有方程式(◎)より $\varphi$ の固有ベクトル $\vec{a}$ を定め，その後(△)に代入しの固有ベクトルを定めればよい． $\lambda=4$ のとき，

$\displaystyle 4E-A= \begin{bmatrix}3 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{... ...別鷁�}}\quad \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

となるので，, より，の $\lambda=4$ に関する固有ベクトルは

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{... ...\\ c \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \qquad (c\neq0)$

と得られる．よっての $\lambda=4$ に関する固有空間は

$\displaystyle W(4;F)= \left\{\left.\,{c(1+2x+x^2)}\,\,\right\vert\,\,{c\in\math... ...\,\right\} = \left\langle 1+2x+x^2\right\rangle = \left\langle f_1\right\rangle$

となる． $\lambda=2$ のとき，

$\displaystyle 2E-A= \begin{bmatrix}1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -2 \end... ...簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

となるので，, より，の $\lambda=2$ に関する固有ベクトルは

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{... ...\\ 0 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \qquad (c\neq0)$

と得られる．よっての $\lambda=2$ に関する固有空間は

$\displaystyle W(2;F)= \left\{\left.\,{c(1+x)}\,\,\right\vert\,\,{c\in\mathbb{R}}\,\right\} = \left\langle 1+x\right\rangle = \left\langle f_2\right\rangle$

となる． $\lambda=1$ のとき，

$\displaystyle E-A= \begin{bmatrix}0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & -3 \end... ...{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

となるので，, より，の $\lambda=1$ に関する固有ベクトルは

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{... ...\\ 0 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \qquad (c\neq0)$

と得られる．よっての $\lambda=1$ に関する固有空間は

$\displaystyle W(1;F)= \left\{\left.\,{c}\,\,\right\vert\,\,{c\in\mathbb{R}}\,\right\} = \left\langle 1\right\rangle = \left\langle f_3\right\rangle$

となる．

固有空間 , , のそれぞれの基底は $\{f_1\}$ , $\{f_2\}$ , $\{f_3\}$ である．これらは

$\displaystyle ($ ＊ $\displaystyle )\qquad \left(f_1,\,\,f_2,\,\,f_3\right)= \left(1+2x+x^2,\,\, 1+x... ...1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)P$

と表される． $\det(P)=1\neq0$ より $\{f_1,f_2,f_3\}$ は 1 次独立となる．よって，

	$\displaystyle W(4)\cap W(2)= \left\langle f_1 \right\rangle \cap \left\langle f... ...left\langle f_1 \right\rangle \cap \left\langle f_3 \right\rangle =\{\vec{0}\},$
	$\displaystyle W(2)\cap W(1)= \left\langle f_2 \right\rangle \cap \left\langle f_3 \right\rangle =\{\vec{0}\}$

となり，

$\displaystyle W(4)\oplus W(2)\oplus W(1)= \left\langle f_1 \right\rangle \oplus... ...right\rangle = \left\langle f_1,\,\, f_2,\,\, f_3\right\rangle =\mathbb{R}[x]_2$

が成り立つ． $\mathbb{R}[x]_2$ は , , に直和分解される． $\{f_1,f_2,f_3\}$ は $\mathbb{R}[x]_2$ の基底となる．

線形変換の基底 $\Sigma=\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$ における表現行列はである．基底 $\Sigma'=\{f_1,\,\,f_2,\,\,f_3\}$ におけるの表現行列を求める．基底 $\Sigma'$ におけるの座標を $(\tilde{a}_0,\tilde{a}_1,\tilde{a}_2)_{\Sigma'}$ とすると，基底変換(＊)を用いて，

	$\displaystyle f(x)= a_0+a_1x+a_2x^2= \tilde{a}_1\,f_1(x)+ \tilde{a}_2\,f_2(x)+ \tilde{a}_3\,f_3(x)$
	$\displaystyle \quad\Rightarrow\quad \left(1,\,\,x,\,\,x^2\right)\begin{bmatrix}... ...1,\,\,x,\,\,x^2\right)\vec{a} = \left(f_1,\,\,f_2,\,\,f_3\right)\tilde{\vec{a}}$
	$\displaystyle \quad\Rightarrow\quad \left(1,\,\,x,\,\,x^2\right)\vec{a} = \left... ...x,\,\,x^2\right)P\tilde{\vec{a}} \quad\Rightarrow\quad \vec{a}=P\tilde{\vec{a}}$

と表される． $\vec{a}=P\tilde{\vec{a}}$ は $\Sigma$ から $\Sigma'$ への座標変換である．の $\Sigma'$ における座標を $(\tilde{b}_0,\tilde{b}_1,\tilde{b}_2)_{\Sigma'}$ とすると，同様にして $\vec{b}=P\tilde{\vec{b}}$ が成り立つ．線形変換は線形変換 $\varphi:\,\vec{b}=A\vec{a}$ と等価であるから， $\vec{b}=A\vec{a}$ に座標変換 $\vec{a}=P\tilde{\vec{a}}$ , $\vec{b}=P\tilde{\vec{b}}$ を代入して

$\displaystyle \vec{b}=A\vec{a} \quad\Rightarrow\quad P\tilde{\vec{b}}=AP\tilde{... ...ec{a}} \quad\Rightarrow\quad \tilde{\vec{b}}=D\tilde{\vec{a}}, \quad D=P^{-1}AP$

を得る．基底 $\Sigma'=\{f_1,\,\,f_2,\,\,f_3\}=\{1+2x+x^2,\,\,1+x,\,\,1\}$ に関するの表現行列は

$\displaystyle D=P^{-1}AP= \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \e... ...end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

となる．

線形変換 $F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$ $\displaystyle \quad$	$\displaystyle \Leftrightarrow$ 線形変換 $\varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$
線形変換 $\displaystyle \quad$	$\displaystyle \Leftrightarrow$ 線形変換 $\vec{b}=\varphi(\vec{a})$ $\displaystyle \quad \Leftrightarrow$ 線形変換 $\vec{b}=A\vec{a}$
$\displaystyle f(x) \quad$	$\displaystyle \Leftrightarrow\quad \vec{a}$
$\displaystyle g(x) \quad$	$\displaystyle \Leftrightarrow\quad \vec{b}$
の表現行列 $\displaystyle \quad$	$\displaystyle =$ $\varphi$ の表現行列
固有方程式 $F(f)=\lambda\,f$ $\displaystyle \quad$	$\displaystyle \Leftrightarrow$ 固有方程式 $\varphi(\vec{a})=\lambda\vec{a}$ $\displaystyle \quad \Leftrightarrow$ 固有方程式 $A\vec{a}=\lambda\vec{a}$
の固有多項式 $\displaystyle \quad$	$\displaystyle =$ $\varphi$ の固有多項式 $g_\varphi(t)$ $\displaystyle \quad=$ の固有多項式
の固有値 $\lambda$ $\displaystyle \quad$	$\displaystyle =$ $\varphi$ の固有値 $\lambda$ $\displaystyle \quad=$ の固有値 $\lambda$
固有空間 $W(\lambda;F)$ $\displaystyle \quad$	$\displaystyle \Leftrightarrow$ 固有空間 $W(\lambda;\varphi)$