5.14 行列の対角化
定義 5.37 (対角化) 正方行列を相似変換により対角行列
に変換することを 対角化という. すなわち,
をみたす対角行列と正則行列
を 定めることを対角化いう.
,
が存在するとき,
は実数体上で対角化されるという.
,
が存在するとき,
は複素数体上で対角化されるという.
注意 5.38 (対角化) 正方行列は常に対角化可能とは限らない.
注意 5.39 (対角化と固有値)は
の相似変換により定まるので両者の固有値は等しく, 対角行列
の 対角成分
が固有値となる. なぜなら,
となるからである. よって行列の固有値を
とすると
は
と表される.
定義 5.40 (対角行列) 対角行列
を省略記号として
と表す.行列
の固有値を
,
,
,
とする. ただし,重複する固有値は別のものとして考える.
,
,
,
に 属する固有ベクトルをそれぞれ
,
,
,
とする. このとき固有方程式
より
が成り立つ. これを列ベクトルとして並べると
となる. これよりが成り立つ.
が正則行列であれば 左から
を掛けて
が成り立つ.が正則行列となるための 必要十分条件は
,
,
,
が 1 次独立であることである.
定理 5.41 (対角化) 正方行列の固有値を
,
,
,
とし, その固有ベクトルをそれぞれ
,
,
,
とする.
,
,
,
が 1 次独立であるとき,
は
により対角化される.
定理 5.42 (固有ベクトルの 1 次独立性) 固有値,
,
が 互いに異なるとき, 固有ベクトル
,
,
は 1 次独立である.
(証明)
,
,
の 1 次独立なベクトルの最大個数を
とする.
,
,
を 1 次独立とし,
,
,
,
を 1 次従属とする. このとき
と書ける. 両辺にを掛けると
となる. また,を掛けると
となる. これらを差引すると
を得る. これは,
,
の 1 次関係である.
,
,
は 1 次独立であり, 固有値は互いに異なる
,
,
,
ので,
となる. このとき
である. 固有値は零ベクトルとはならないので, 条件は矛盾する. よって,
,
,
,
は 1 次独立である. すべての
対して成り立つので
を得る.
Kondo Koichi
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KONDO Koichi
平成19年1月25日