5.15 2 次正方行列の対角化
例 5.43 (対角化の具体例) 行列
を対角化する.まず,行列
の固有多項式は
となるので,より
の固有値は
,
である.
のとき
より,を解いて 固有ベクトルは
である.のとき
より,を解いて 固有ベクトルは
である.行列
を対角化する.
の固有ベクトルのひとつとして
を選び,
の固有ベクトルのひとつとして
を選ぶ. このとき
とおく.であるから,
は正則である. よって,
は
(1)
と対角化される.
問 5.44 (対角化の確認)が成立することを 数値を代入して確認せよ.
注意 5.45 (対角化と固有空間) 線形変換の固有空間は
である.,
,
となるので,
が成り立つ.は固有空間に直和分解される.
の基底は
,
の基底は
,
の基底は
となる.
問 5.46 (固有空間) 固有空間は原点を通り方向ベクトル
の直線であり,
は原点を通り方向ベクトル
の直線である. 二つの直線のなす角度を求めよ.
Kondo Koichi
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KONDO Koichi
平成19年1月25日