5.23 対称行列の対角化
定義 5.64 (対称行列) 行列が
をみたすとき,
を 対称行列(symmetric matrix)という.
注意 5.65 (対称行列) 対称行列は
の形で表される.
例 5.66 (対称行列の具体例) 次に行列は対称行列である.
定理 5.67 (対称行列の固有値) 対称行列の固有値はすべて実数である.
(証明)
において,
上の内積を用いて
を得る.ここで,
が成り立つことを用いた.となるので,
は実数である.
注意 5.68 (対称行列の固有値) 実対称行列の固有値は実数なので, 固有ベクトルも実数である.
注意 5.69 (対称行列と正規行列) 対称行列は正規行列である.
定理 5.70 (対称行列の固有値) 対称行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する.
(証明) 対称行列は正規行列であるから固有ベクトルは直交する. または,次のように示す.
,
,
,
とする. このとき,
となる.
であるから,より
を得る.
定理 5.71 (対称行列の対角化) 対称行列は 対角行列
と直交行列
を用いて
と対角化される.
Kondo Koichi
![]()
KONDO Koichi
平成19年1月25日