5.24 2 次対称行列の対角化
例 5.72 (対称行列の対角化の具体例) 対称行列
を直交行列で対角化する.の固有多項式は
であるから, 固有値はより
となる.
より,と
に 属する固有ベクトルはそれぞれ
となる.は1 次独立であるから,
は正則となる. しかし
は直交行列ではないので, 直交行列となるように固有ベクトルを選び直す.
であるから,
と
は直交する. よってこれらを正規化すればよい.
とおくと,(
) が成り立ち正規直交系となる. 以上より行列
は
と直交行列で対角化される.
注意 5.73 (対称行列の固有空間) 線形変換;
の 固有空間は
である.,
,
より
☆
を得る. 固有空間,
は
の直和分解である. また,異なる固有値に属する固有ベクトルは直交するので, 固有空間も直交し
を得る.
と(☆)より,
は
における
の直交補空間となる. また逆に
は
における
の直交補空間となる.
Kondo Koichi
![]()
KONDO Koichi
平成19年1月25日