5.28 交代行列の対角化
定義 5.84 (交代行列) 行列が
をみたすとき,
を 歪対称行列(skew-symmetric matrix)または 交代行列(alternative matrix)という.
例 5.85 (交代行列の具体例)
定理 5.86 (交代行列の固有値) 交代行列の固有値はすべて純虚数または 0 である.
(証明) 行列
の固有値を
としその固有ベトクルを
とする. すなわち
が成り立つとする. このとき,
上の内積を用いて,
が成り立つ. ここで,となることを用いた. これらを比較すると
となる.固有ベクトル
は
とはならないから,
が成立する. このとき
は純虚数である.
注意 5.87 (交代行列) 交代行列は正規行列である.
定理 5.88 (交代行列の固有ベクトル) 交代行列において, 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する.
(証明) 交代行列は正規行列であるから固有ベクトルは直交する. または,次のように示す.
において, 固有値は純虚数なので
,
,
(
) とする.
上の内積を用いて
となる.
であるから,より
を得る.
定理 5.89 (交代行列の対角化) 交代行列の 固有値を
とする. このとき,
は ユニタリー行列
を用いて
と上で対角化される. ただし,
は
の固有ベクトルであり,
がユニタリー行列となるように選ぶとする.
定理 5.90 (交代行列の実標準形) 交代行列の 固有値を
とする. このとき,は 直交行列
を用いて
と実標準形でブロック対角化される. ただし,は
の固有ベクトルであり,
が直交行列となるように選ぶとする.
例 5.91 (交代行列の対角化の具体例) 行列
を対角化する.
より,固有値はである.
より,固有ベクトルはそれぞれ
となる.これより
と上で対角化される. また,
上で実標準形では
となる.
Kondo Koichi
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KONDO Koichi
平成19年1月25日