5.29 エルミート行列の対角化
定義 5.92 (エルミート行列) 行列が
をみたすとき
をエルミート行列(Hermite matrix)という.
注意 5.93 (エルミート行列と対称行列) エルミート行列の要素が実数のみであるとき,
よりエルミート行列は対称行列となる.
例 5.94 (エルミート行列の具体例) エルミート行列の対角成分はすべて実数であり, 非対角成分は虚部の符号が反転する:
定理 5.95 (エルミート行列の固有値) エルミート列の固有値はすべて実数である.
(証明)
とし,
上の内積を用いて,
が成り立つ. ここで,を用いた.
,
より,
が成立する.
は実数である.
注意 5.96 (エルミート行列) エルミート行列は正規行列である.
定理 5.97 (エルミート行列の固有ベクトル) エルミート行列において, 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する.
(証明) エルミート行列は正規行列であるので固有ベクトルは直交する. または,次のように示す.
,
,
,
(
) とする.
上の内積を用いて,
となる.
であるから,より
を得る.
定理 5.98 (エルミート行列の対角化) エルミート行列の 固有値を
とする. このとき,
は ユニタリー行列
を用いて
と対角化される. ただし,は
の固有ベクトルであり,
がユニタリー行列となるように選ぶとする.
例 5.99 (エルミート行列の対角化の具体例) 行列
を対角化する.
より,固有値はである.
より,固有ベクトルはそれぞれ
となる.であるから, 規格化して
,
とする. このとき
はユニタリー行列
を用いて
と対角化される.
例 5.100 (エルミート行列の対角化の具体例) 行列
を対角化する.
より,固有値は(2 個),
である.
より,固有ベクトルはそれぞれ
となる.,
,
であるから,
とおくと, 正規直交系となる. このとき
はユニタリー行列
を用いて
と対角化される.
Kondo Koichi
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KONDO Koichi
平成19年1月25日