5.9 べき関数のマクローリン級数

例 5.17 (多項式のテイラー級数) $\alpha$ が自然数以外の実数のとき，

$\displaystyle (1+x)^{\alpha}$	$\displaystyle =1+ \alpha\,x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+ \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^{n}+\cdots \quad (\vert x\vert<1)$
	$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}\,.$

$\alpha$ が自然数のとき，

$\displaystyle (1+x)^{\alpha}$	$\displaystyle =1+\alpha\,x+ \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^{2}+\cdots+ \frac{\alph... ...1)}{2}x^{\alpha-2}+ \alpha\,x^{\alpha-1}+ x^{\alpha} \quad(\vert x\vert<\infty)$
	$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\alpha} \begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}\,.$

（導出） $f(x)=(1+x)^{\alpha}$ とおく．導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =(1+x)^{\alpha}\,,\quad f'(x)=\alpha(1+x)^{\alpha-1}\,,\quad f''(x)=\alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2}\,,\quad$
$\displaystyle f'''(x)$	$\displaystyle =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(1+x)^{\alpha-3}\,,\quad \cdots$

である． $\alpha$ が自然数の場合と，それ以外の場合に分けて考える．まず $\alpha$ が自然数以外の実数のときを考える．導関数は

$\displaystyle f^{(n)}(x)$	$\displaystyle = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1) (1+x)^{\alpha-n}$
	$\displaystyle = \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}(1+x)^{\alpha-n}$

と表わされる．点における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$

$\displaystyle =\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}$

となる．よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$

$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\in... ...-n)!n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}$

と求まる．収束半径は

$\displaystyle c_{n}=\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}= \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!}$

とおくと，

$\displaystyle r$	$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \... ...ert\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!} \frac{(\alpha-n-1)!(n+1)!}{\alpha!}\right\vert$
	$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{n+1}{\alpha-n}\right\vert= \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{1+1/n}{\alpha/n-1}\right\vert=1$

と得られる．次に $\alpha$ が自然数のときを考える．導関数は

$\displaystyle f^{(n)}(x)$

$\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle{\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}(1+x)^{\alpha-n}} & (n\leq\alpha) \\ 0 & (n>\alpha) \end{array}\right.$

と表わされる．点における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$

$\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle{\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}} & (n\leq\alpha) \\ 0 & (n>\alpha) \end{array}\right.$

と求まる．よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$

$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\al... ...-n)!n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\alpha}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}$

と得られる．この展開式は有限項の和であり，有限次数の多項式である． $\alpha$ が自然数のときのテーラー展開は二項展開となる．展開式は多項式であり任意の実数に対して成立する．よって $\vert x\vert<\infty$ であり，収束半径は $r=\infty$ となる．