5.10 2 項係数の拡張

定義 5.18 (階乗の拡張)   $\alpha$ を実数とする．このとき $\alpha!$ を

$$\alpha! =\alpha(\alpha-1)!\,,\quad 0!=1$$

と定義する．

例 5.19 (階乗の具体例)   $\alpha$ が自然数 $n$ のとき

$$\alpha! =n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$$

である．$\alpha$ が自然数ではないとき

$$\alpha! = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots= \prod_{n=0}^{\infty}(\alpha-n)$$

となり無限積で表わされる． 例えば $\alpha=1/2$ のときは

$$\left(\frac{1}{2}\right)! = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}-1\right) \left(\frac{1}{2}-2\righ... ...ft(\frac{1}{2}-3\right) \cdots = \prod_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}-n\right)$$

$$= \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{3}{2}\right) \left(-\frac{5}{2}\right) \cdots = \prod_{n=0}^{\infty}\frac{-2n+1}{2}$$

となる．

定義 5.20 (二項係数の拡張)   実数 $\alpha$ , 自然数 $n$ に対して

$$\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix} = \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!}= \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)} {n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1}\,$$

と定義する．

例 5.21 (二項係数の具体例)   $\alpha$ が自然数 $m$ のときは

$$\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}m \\ n \end{pmatrix}= \frac{m!}{(m-n)!n!}$$

であり通常の二項係数と等しい． $\alpha=1/2$ , $n=3$ のとき

$$\begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}-1\right) \left... ...eft(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{3}{2}\right)}{3\cdot2\cdot1}= \frac{1}{16}$$

となる． $\alpha=-2$ , $n=3$ のとき

$$\begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{(-2)(-3)(-4)}{3\cdot2\cdot1}=-4$$

となる．

平成19年10月3日