5.13 割り算によるテイラー級数の計算

例 5.29 (テイラー級数の計算例)  

$$\frac{1}{1-x} = 1+\frac{x}{1-x}$$

$$= 1+x+\frac{x^2}{1-x}$$

$$= 1+x+x^2+\frac{x^3}{1-x}$$

$$= 1+x+x^2+x^3+\frac{x^4}{1-x}$$

$$=1+x+x^2+x^3+\cdots$$

例 5.30 (テイラー級数の計算例)  

$$\frac{1}{1-x-x^2} = 1+\frac{x+x^2}{1-x-x^2}$$

$$= 1+x+\frac{2x^2+x^3}{1-x-x^2}$$

$$= 1+x+2x^2+\frac{3x^3+2x^4}{1-x-x^2}$$

$$= 1+x+x^2+3x^3+\cdots$$

例 5.31 (テイラー級数の計算例)  

$$\frac{\sin x}{1-x} = \frac{\displaystyle{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots}}{1-x}$$

$$= x+\frac{\displaystyle{x^2-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots}}{1-x}$$

$$= x+x^2+\frac{\displaystyle{\frac{5x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots}}{1-x}$$

$$= x+x^2+\frac{5x^3}{6}+\frac{\displaystyle{\frac{101x^5}{120}-\cdots}}{1-x}$$

$$= x+x^2+\frac{5x^3}{6}+\frac{101x^5}{120}+\cdots$$

例 5.32 (テイラー級数の計算例)  

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

$$= \frac{\displaystyle{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots}} {\displaystyle{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots}}$$

$$= x+ \frac{\displaystyle{\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{30}-\cdots}} {\displaystyle{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots}}$$

$$= x+\frac{x^3}{3}+\cdots$$

平成19年10月3日