5.14 テイラー級数の項別微分

例 5.33 (項別微分の具体例)  

$$e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}= 1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3!}x^3+ \frac{1}{4!}x^4+\cdots$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = \frac{d}{dx} \left(1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3!}x^3+ \frac{1}{4!}x^4+\cdots+ \frac{1}{n!}x^{n}+ \frac{1}{(n+1)!}x^{n+1}+\cdots \right)$$

$$= \frac{d}{dx}1+ \frac{d}{dx}x+ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^{2... ...x}\left(\frac{1}{3!}x^3\right)+ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4!}x^4\right)+\cdots$$

$$\qquad\qquad\qquad\cdots+ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n!}x^{n}\right)+ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(n+1)!}x^{n+1}\right)+\cdots$$

$$= 0+1+\frac{2}{2}x^{2}+ \frac{3}{3!}x^2+\frac{4}{4!}x^{3}+\cdots+ \frac{n}{n!}x^{n-1}+\frac{n+1}{(n+1)!}x^{n}+\cdots$$

$$= 1+x+ \frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots+ \frac{1}{(n-1)!}x^{n-1}+\frac{1}{n!}x^{n}+\cdots$$

$$= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}$$

$$=e^{x}$$

例 5.34 (項別微分の具体例)  

$$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+ (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots$$

$$\frac{d}{dx}\sin x = \frac{d}{dx}\left( x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+ (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\right)$$

$$= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+ (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\cos x$$

例 5.35 (項別微分の具体例)  

$$\log(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{n}}{n}+\cdots$$

$$\frac{d}{dx} \log(1+x) = 1-x+\cdots+(-1)^{n}x^{n-1}+\cdots=\frac{1}{1+x}$$

問 5.36   これを示せ．

例 5.37 (テーラー級数の微分)  

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$$

$$f'(x)= \frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$$

$$= \frac{d}{dx} \left( f(a)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} \right)$$

$$=0+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d}{dx}\left( \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\right)$$

$$= \sum_{n=1}^{\infty} f^{(n)}(a) \frac{n}{n!} (x-a)^{n-1}$$

$$= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!} (x-a)^{n-1}$$

$$\quad(m=n-1;n=1,2,3,\cdots)$$

$$= \sum_{m=0}^{\infty} \frac{f^{(m+1)}(a)}{m!} (x-a)^{m}$$

$$\quad(m\to n)$$

$$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(f')^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$$

$$=f'(x)$$

$f(x)$ に関するテーラー級数を微分したものは， $f'(x)$ に関するテーラー級数となる．

平成19年10月3日