5.21 テイラー級数を用いた関数の極限の計算

関数

$$f(x) =\frac{\sin x}{x}$$

の $x\to 0$ における極限を考える． $f(x)$ をテイラー級数で表わしたのち関数の極限を求める． すなわち

$$\lim_{x\to0}f(x)= \lim_{x\to0}\left\{\text{$f(x)$\ の $x=0$\ まわりでのテイラー級数}\right\}$$

として計算する． まず分子である $\sin x$ をテイラー展開すると

$$\sin x = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}+O(x^7)$$

となる． 次に分子 $\sin x$ を分母 $x$ で割り， $f(x)$ のテイラー展開を求める． すなわち

$$f(x) =\frac{\sin x}{x}= \frac{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}+O(x^7)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{5!}+O(x^6)$$

を得る． もとの関数とテイラー級数で表わした関数とは等価なものである． よって

$$\lim_{x\to0}f(x)= \lim_{x\to0}\left( 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{5!}+O(x^6) \right)= 1-0+0+0=1$$

を得る． 関数 $${f(x)=\frac{\sin x}{x}}$$ はもともと点 $x=0$ において 値が定義されていない． しかしながら， 等価な式であるテイラー級数では， 点 $x=0$ は特別な点ではない． 点 $x=0$ は見かけの不連続点である． ある関数に不連続点があるとき， その不連続点が取り除けるかどうかは， その関数をテイラー級数表示をすればよい．

問 5.55 (極限の計算)   極限

$$\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}$$

を求めよ．

例 5.56 (テイラー展開を用いた極限の計算の例)   関数

$$f(x) =\sqrt{x^2-2x}-x$$

に対して極限 $${\lim_{x\to\infty}f(x)}$$ を考える． このとき

$$\lim_{x\to\infty}f(x)= \lim_{x\to\infty} \left\{\text{$f(x)$\ の $x=\infty$\ まわりのテイラー級数}\right\}$$

として極限を求める． しかしながら， べき級数 $\sum c_{n}(x-\infty)^{n}$ は存在しない． そこで変数を $y=1/x$ と導入する． すると極限は

$$\lim_{x\to\infty}f(x)= \lim_{y\to0}f\left(\frac{1}{y}\right)= \li... ...eft\{\text{$f\left(\frac{1}{y}\right)$\ の $y=0$\ まわりのテイラー級数}\right\}$$

と表わされる． $f(1/y)$ を計算すると

$$f\left(\frac{1}{y}\right)= \sqrt{\frac{1}{y^2}-\frac{2}{y}}-\frac{1}{y}= \frac{1}{y}\left( \sqrt{1-2y}-1 \right)$$

となる．まず $\sqrt{1-2y}$ をテイラー展開すると

$$\sqrt{1-2y} =1+\frac{1}{2}(-2y)+ \frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)}{2\cdot 1}(-2y)^2+ O\left((-2y)^3\right))$$

$$=1-y-\frac{1}{2}y^2+O(y^3)$$

を得る． これを用いて $f(1/y)$ のテイラー展開を求めると

$$f\left(\frac{1}{y}\right) = \frac{1}{y}\left\{\left(1-y-\frac{1}{2}y^2+O(y^3)\right)-1\right\}$$

$$=\frac{1}{y}\left(-y-\frac{1}{2}y^2+O(y^3)\right)$$

$$=-1-\frac{1}{2}y+O(y^2)$$

となる．よって極限は

$$\lim_{x\to\infty}f(x) = \lim_{y\to0}f\left(\frac{1}{y}\right)= \lim_{y\to0}\left\{ -1-\frac{1}{2}y+O(y^2) \right\}= -1+0+0=-1$$

と得られる．

平成19年10月3日