6.13 定積分の性質

定理 6.63 (定積分の性質)   定積分は次の性質をもつ：

(1)

$${\int_{a}^{b}(\alpha\,f(x)+\beta\,g(x))\,dx= \alpha\,\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\beta\,\int_{a}^{b}g(x)\,dx}$$ .

(2)

$${f(x)\ge0}$$ $(a\leq x\leq b)$ のとき $${\int_{a}^{b}f(x)\,dx\geq0}$$ .

(3)

$f(x)\geq g(x)$ $(a\leq x\leq b)$ のとき $${\int_{a}^{b}f(x)\,dx\geq\int_{a}^{b}g(x)\,dx}$$ .

(4)

$a<c<b$ のとき $${\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx}$$ .

(5)

$${\int_{a}^{b}f(x)\,dx= -\int_{b}^{a}f(x)\,dx}$$ .

(6)

$${\int_{a}^{a}f(x)\,dx=0}$$ .

(7)

$${\left\vert\int_{a}^{b}f(x)\,dx\right\vert\leq\int_{a}^{b}\vert f(x)\vert\,dx}$$

定理 6.64 (定積分の性質)   $a<b$ に対して

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a)$$

をみたす $c\in(a,b)$ が存在する．

（証明）     $m\leq f(x)\leq M$ のとき

$$\int_{a}^{b}m\,dx\leq \int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int_{a}^{b}M\,dx \quad\Rightarrow\quad m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)$$

$$\quad\Rightarrow\quad m\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq M \quad\Rightarrow\quad m\leq\mu\leq M,\quad \mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$$

が成り立つ． $m\leq\mu\leq M$ , $m\leq f(x)\leq M$ より中間値の定理より

$$f(c)=\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$$

をみたす $c$ が存在する．

定理 6.65 (中間値の定理)   関数 $f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続であるとき， $f(a)<\mu<f(b)$ をみたす任意の $\mu$ に対して， $f(c)=\mu$ , $a<c<b$ をみたす $c$ が存在する．

平成19年10月3日