6.12 定積分

定義 6.58 (定積分)   関数 $f(x)$ は有限区間 $[a,b]$ で連続とする． 区間 $[a,b]$ を

$$\Delta:\quad a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{k-1}<x_{k}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b$$

のように $n$ 個の領域に分割する． 小区間 $I_{n}$ の最小幅を $\vert\Delta\vert=\underset{k}{\min}(\Delta x_{k})$ とする． 面積

$$S_{n} = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_{k})\Delta x_{k}\,,\quad \xi_{k}\in I_{k}=[x_{k}, x_{k-1}]\,,\quad \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$$

が分割の選び方に無関係に， $n\to\infty$ , $\vert\Delta\vert\to0$ のとき極限をもつならば， この極限を

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} f(\xi_{k})\Delta x_{k}\,$$

と書き， 関数 $f(x)$ の $a$ から $b$ までの 定積分（definite integral）という． このとき $f(x)$ は積分可能であるという． 区間 $[a,b]$ を積分区間という．

注意 6.59 (定積分の意味)   区間 $[a,b]$ において $x$ 軸と $y=f(x)$ とで囲まれた領域の 符合付き面積である．

例 6.60 (定積分の具体例)  

$$\int_{a}^{b} c\,dx= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k)\Delta x_{k}= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} c(x_{k}-x_{k-1})$$

$$= \lim_{n\to\infty} c\left( (x_{n}-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+\cdots+(x_1-x_0)\right)$$

$$= \lim_{n\to\infty} c\left(x_{n}-x_{0}\right)= \lim_{n\to\infty}c(b-a)=c(b-a)\,.$$

定理 6.61 (積分可能)   すべての分割 $\Delta$ に対して $S(\Delta)=s(\Delta)$ であるとき 積分可能である． ここで $S(\Delta)$ , $s(\Delta)$ は

$$S(\Delta)=\sum_{k=1}^{n}M_k\Delta x_k,\quad s(\Delta)=\sum_{k=1}^{n}m_k\Delta x_k,\quad M_k=\sup_{x\in I_k}f(x),\quad m_k=\inf_{x\in I_k}f(x)$$

である．

（証明）     分割 $\Delta$ の各領域をさらに分割した分割を細分といい， $\Delta'$ とおくことにする． このとき明らかに

$$s(\Delta)\leq s(\Delta')\leq S(\Delta')\leq S(\Delta)$$

が成り立つ．

定理 6.62 (積分可能)   関数 $f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続ならば積分可能である．

（証明）     区間 $I=[a,b]$ で $f(x)$ が連続であれば， $f(x)$ は $I$ で一様連続である．つまり， $\forall\varepsilon>0$ に対して，

$$x,x'\in I\quad \vert x-x'\vert<\exists\delta \quad\Rightarrow\quad \vert f(x)-f(x')\vert<\varepsilon$$

が成り立つ． $\vert\Delta\vert<\delta$ のとき

$$x,x'\in I\quad \vert x-x'\vert<\delta \quad\Rightarrow\quad \vert f(x)-f(x')\vert<\varepsilon \quad\Rightarrow\quad M_k-m_k<\epsilon$$

平成19年10月3日