2.6 関数

関数（function）とは， ある値 $x$ が与えられたとき， 何らかの演算規則 $f$ に従って値 $y$ を定め， その値 $y$ を返す機能のことである． 関数は

$$y=f(x)$$

と書き表される． 例えばある関数を $f(x)=x^3-2x+5$ と書くことにすると，

$$f(1) =1^3-2\times1+5=4\,x \to y =4$$

$$f(0) =0^3-2\times0+5=5\, \to y =5$$

$$f(-2) =(-2)^3-2\times(-2)+5=1\, \to y =1$$

$$f(a) =a^3-2a+5\, \to y =a^3-2a+5\,$$

のように， $f(x)$ の左辺の括弧内の $x$ がある数に書き置き換われば， 右辺の $x$ もその数に置き換わる． そしてそれぞれの $x$ に応じて値 $y$ が定まる．

入力 $x$ にある変換 $f$ を作用させ出力 $y$ を返す．これを

$$f:x\mapsto y \qquad x\overset{f}{\mapsto} y$$

と表す．

定義 2.20 (関数に関する名称)   関数 $y=f(x)$ に関連して次の名称を定義する：

• 定数（constant） $\cdots$ 一定の値を表す数．
• 変数（variable） $\cdots$ 変化する値を表す数．
• 独立変数（independent variable） $\cdots$ 自由に値を定めることができる変数 $x$ のこと．
• 従属変数（dependent variable） $\cdots$ 独立変数 $x$ に応じて値が変化する変数 $y$ のこと．
• 定義域，変域（domain） $\cdots$ 独立変数 $x$ がとり得る範囲 $I$ ．
• 値域（range） $\cdots$ 従属変数 $y$ がとり得る範囲 $J$ ．

例 2.21 (関数に関する名称の具体例)   関数 $y=f(x)=ax^2+b$ を考える． このとき $a$ , $b$ は定数であり，$x$ , $y$ は変数である． また $x$ は独立変数であり，$y$ は従属変数である． 定義域は $-\infty<x<\infty$ であり， 値域は $b\le y<\infty$ である．

定義 2.22 (グラフ)   $x$ 軸と $y$ 軸を 直角に交わるように描き $xy$ 平面 を用意する． 変数 $x$ の値を定義域内で変化させ，点 $(x,y)=(x,f(x))$ の軌跡を $xy$ 平面内に描く． この曲線を関数 $f(x)$ のグラフ（graph）と呼ぶ．

平成19年10月3日