2.5 逆写像

定義 2.16 (逆写像)   写像 $f$ に対して

$$g\circ f=\mathrm{id.}$$

をみたす写像 $g$ が存在するとき， 写像 $g$ を $g=f^{-1}$ と表記し， $f$ の逆写像（inverse mapping）という．

定理 2.17 (逆写像)   写像 $f$ が全単射のとき逆写像 $f^{-1}$ は存在する．

例 2.18 (逆写像)   写像 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,x\mapsto y=f(x)=ax+b$ の逆写像は $f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,y\mapsto x=f^{-1}(y)=(y-b)/a$ である．

例 2.19 (逆写像)   写像 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,x\mapsto y=f(x)=x^2$ は 全単射ではないので逆写像は存在しない． ただし，集合 $\mathbb{R}$ を非負に制限した集合 $\mathbb{R}_{\geq0}$ に おける写像 $f:\mathbb{R}_{\geq0}\to\mathbb{R}_{\geq0};\,x\mapsto y=f(x)=x^2$ を考えれば，この逆写像は $f^{-1}:\mathbb{R}_{\geq0}\to\mathbb{R}_{\geq0};\, y\mapsto x=f^{-1}(y)=\sqrt{x}$ となる．

平成19年10月3日