2.21 双曲線関数

双曲線関数(hyperbolic function)とは

$\displaystyle y$ $\displaystyle =\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\,,$ $\displaystyle y$ $\displaystyle =\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\,,$ $\displaystyle y$ $\displaystyle =\tanh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{\sinh x}{\cosh x}\,$    

により定義される関数である. 関数の読み方は上から hyperbolic sine, hyperbolic cosine, hyperbolic tangent である. また双曲線関数の逆数を

$\displaystyle \mathrm{cosech}\,x$ $\displaystyle =\frac{1}{\sinh x}\,,$ $\displaystyle \mathrm{sech}\,x$ $\displaystyle =\frac{1}{\cosh x}\,,$ $\displaystyle \coth x$ $\displaystyle =\frac{1}{\tanh x}\,$    

と定義する.

注意 2.61 (三角関数と双曲線関数)   三角関数は複素関数を用いて次のようにも定義される:

$\displaystyle \sin x$ $\displaystyle =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\,,$    
$\displaystyle \cos x$ $\displaystyle =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\,,$    
$\displaystyle \tan x$ $\displaystyle = \frac{1}{i} \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}=\frac{\sin x}{\cos x}\,.$    

双曲線関数の定義との類似に注意せよ.

2.62 (双曲線関数の概形)   双曲線関数の概形を書け.

定理 2.63 (双曲線関数の性質)   双曲線関数は次の性質をもつ.

$\displaystyle \sinh(-x)$ $\displaystyle =-\sinh(x)\,$   → 奇関数    
$\displaystyle \cosh(-x)$ $\displaystyle =\cosh(x)\,$   → 偶関数    
$\displaystyle \tanh(-x)$ $\displaystyle =-\tanh(x)\,$   → 奇関数    
$\displaystyle \cosh^2 x$ $\displaystyle - \sinh^2 x=1\,$    
$\displaystyle \sinh(x\pm y)$ $\displaystyle =\sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y\,$    
$\displaystyle \cosh(x\pm y)$ $\displaystyle =\cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y\,$    
$\displaystyle \tanh(x\pm y)$ $\displaystyle =\frac{\tanh x \pm \tanh y}{1\pm \tanh x \tanh y}\,$    

2.64 (双曲線関数の性質)   この性質を証明せよ.


(証明)双曲線関数の定義をそのまま用いれば証明できる.

2.65 (双曲線関数の性質)   次の式を導け.

  $\displaystyle \cosh^2x=\frac{1}{2}(\cosh 2x+1)$    
  $\displaystyle \sinh^2x=\frac{1}{2}(\cosh 2x-1)$    
  $\displaystyle \sinh x\cosh x= \frac{1}{2}\sinh 2x$    
  $\displaystyle \tanh^2x=1-\frac{1}{\cosh^2x}$    

2.66 ($ n$ 倍角の公式)   $ \cosh 2x$ , $ \cosh 3x$ , $ \cosh 4x$ , $ \cdots$$ \cosh x$ の多項式で表せ.

(答え)

$\displaystyle \cosh 2x$ $\displaystyle = 2\cosh^2x-1\,,$    
$\displaystyle \cosh 3x$ $\displaystyle = 4\cosh^3x-3\cosh x\,,$    
$\displaystyle \cosh 4x$ $\displaystyle = 8\cosh^4x-8\cosh^2x+1\,.$    

2.67 ($ n$ 倍角の公式)   $ \cosh^2x$ , $ \cosh^3x$ , $ \cosh^4x$ , $ \cdots$$ \cosh 2x$ , $ \cosh 3x$ , $ \cosh 4x$ , $ \cdots$ の線形結合で表せ.

(答え)

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 \\ \cosh x \\ \cosh2x \\ \cosh3x \\ \cosh4x \end...
...} \begin{bmatrix}1 \\ \cosh x \\ \cosh^2x \\ \cosh^3x \\ \cosh^4x \end{bmatrix}$    

より

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 \\ \cosh x \\ \cosh^2x \\ \cosh^3x \\ \cosh^4x \...
...rix} \begin{bmatrix}1 \\ \cosh x \\ \cosh2x \\ \cosh3x \\ \cosh4x \end{bmatrix}$    

となるので

$\displaystyle \cosh^2 x$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\cosh2x+\frac{1}{2}\,,$    
$\displaystyle \cosh^3x$ $\displaystyle =\frac{1}{4}\cosh3x+\frac{3}{4}\cosh x\,,$    
$\displaystyle \cosh^4x$ $\displaystyle =\frac{1}{8}\cosh4x+\frac{1}{2}\cosh2x-\frac{1}{8}\,$    

を得る.

2.68 (円と双曲線)   円 $ x^2+y^2=1$ をパラメータ表示すると

$\displaystyle x(t)$ $\displaystyle =\cos t\,,\quad y(t)=\sin t$    

と表わせる. 双曲線 $ x^2-y^2=1$ をパラメータ表示するには

$\displaystyle x(t)$ $\displaystyle =\pm\cosh t\,,\quad y(t)=\sinh t$    

とおけばよい. これを示せ.

注意 2.69 (円関数)   双曲線関数に対して三角関数は円関数と呼ぶこともある.


平成19年10月3日