2.22 逆双曲線関数

双曲線関数の逆関数は 逆双曲線関数（inverse hyperbolic function） と呼び，

$$y =\sinh^{-1}x=\mathrm{arcsinh}\,x = \log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \qquad (-\infty < x < \infty)\,$$ (1)

$$y =\cosh^{-1}x=\mathrm{arccosh}\,x = \log\left(x\pm\sqrt{x^2-1}\right) \qquad (1\le x)\,$$ (2)

$$y =\tanh^{-1}x=\mathrm{arctanh}\,x = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \qquad (\vert x\vert<1)$$ (3)

と表される． 読み方は上から hyperbolic arc sine, hyperbolic arc cosine, hyperbolic arc tangent である． $\mathrm{arccosh}\,x$ は二価関数である． 枝は $\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ と $\log\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)$ である． 通常は前者を主値にとる． その他の逆双曲線関数は一価関数である．

問 2.70 (逆双曲線関数のグラフ)   逆双曲線関数の概形を書け．

問 2.71 (逆双曲線関数の対数関数表示)   逆双曲線関数が()-()のように 対数関数を用いて書き表されることを示せ．

（答え） $y=\mathrm{arcsinh}\,x$ とおく． 逆に書けば $x=\sinh y=(e^{y}-e^{-y})/2$ である． これより

$$2x=e^{y}-e^{-y}$$

$$2x\,e^{y}=e^{2y}-1$$

$$e^{2y}-2x\,e^{y}-1=0$$

$$\left(e^{y}-x\right)^2=x^2+1\geq0$$

$$e^{y}-x=\pm\sqrt{x^2+1}$$

$$0\leq e^{y}=x\pm\sqrt{x^2+1}$$

$$-$$

$$e^{y}=x+\sqrt{x^2+1}\geq0$$

$$y=\log(x+\sqrt{x^2+1})$$

を得る．

平成19年10月3日