2.23 演習 〜 初等関数

2.72 (関数の種類)   次の写像(1)-(3)は,単射($ 1$$ 1$ 写像),全射(上への写像), 全単射(上への$ 1$$ 1$ 写像),いずれでもない,のどれであるか答えよ.
    (1)   $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\,;\,y=f(x)=ax+b$     (2)   $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\,;\,y=f(x)=e^x$
    (3)   $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\,;\,y=f(x)=x^2$

2.73 (逆関数)   次の関数 $ y=f(x)$ の逆関数 $ y=f^{-1}(x)$ を求めよ. また,これらのグラフを描け.
    (1)   $ y=f(x)=2x+3$     (2)   $ y=f(x)=e^{-x}$     (3)   $ y=f(x)=x^2$     (4)   $ \displaystyle{y=f(x)=\frac{2x-1}{x+3}}$
    (5)   $ y=f(x)=e^x+e^{-x}$     (6)   $ y=f(x)=e^x-e^{-x}$     (7)   $ \displaystyle{y=f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}}$
    (8)   $ \displaystyle{y=f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}}$

2.74 (三角関数)   次の値を求めよ.
    (1)   $ \displaystyle{\sin \left(\frac{2\pi}{3}\right)}$     (2)   $ \displaystyle{\sin \left(\frac{\pi}{12}\right)}$     (3)   $ \displaystyle \sin \left( \frac{ \pi}{6} \right) $     (4)   $ \displaystyle \sin \left( - \frac{2 \pi}{3} \right) $     (5)   $ \displaystyle{\sin \left(\frac{5\pi}{12}\right)}$     (6)   $ \mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
    (7)   $ {\mathrm{Sin}^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right)}$     (8)   $ {\mathrm{Sin}^{-1} (0)}$     (9)   $ {\mathrm{Sin}^{-1} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$     (10)   $ {\mathrm{Sin}^{-1} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$     (11)   $ {\mathrm{Sin}^{-1} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$
    (12)   $ {\mathrm{Sin}^{-1} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$     (13)   $ {\mathrm{Sin}^{-1} (1)}$     (14)   $ \displaystyle{\cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right)}$     (15)   $ \displaystyle{\cos \left(\frac{\pi}{12}\right)}$     (16)   $ \displaystyle \cos \left( \frac{ \pi}{4} \right) $
    (17)   $ \displaystyle{\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)}$     (18)   $ \displaystyle{\cos \left(\frac{5\pi}{12}\right)}$     (19)   $ {\mathrm{Cos}^{-1} (0)}$     (20)   $ {\mathrm{Cos}^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)}$     (21)   $ {\mathrm{Cos}^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right)}$
    (22)   $ {\mathrm{Cos}^{-1} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$     (23)   $ {\mathrm{Cos}^{-1} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$     (24)   $ {\mathrm{Cos}^{-1} (1)}$     (25)   $ \displaystyle{\tan \left(-\frac{\pi}{3}\right)}$     (26)   $ \displaystyle{\tan \left(\frac{5\pi}{6}\right)}$
    (27)   $ \displaystyle{\tan \left(\frac{7\pi}{12}\right)}$     (28)   $ {\mathrm{Tan}^{-1} (0)}$     (29)   $ {\mathrm{Tan}^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}$     (30)   $ {\mathrm{Tan}^{-1} \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}$     (31)   $ {\mathrm{Tan}^{-1} (1)}$
    (32)   $ {\mathrm{Tan}^{-1} \left(\sqrt{3}\right)}$     (33)   $ {\mathrm{Tan}^{-1} \left(-\sqrt{3}\right)}$     (34)  $ \log 800$ ( $ \log 2\simeq 0.3010$ を用いよ)

2.75 (三角関数)   $ a\,\cos x+b\,\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\,\cos(x-\theta)$ , $ \displaystyle{\theta=\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)}$ (ヒント:右辺に加法公式)

2.76 (三角関数)   次の条件をみたす係数 $ a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2,b_3,c_0,c_1,c_2,c_3,c_4$ を求めよ.
    (1)   $ \cos^2 x=a_2 \cos2 x+a_1 \cos x+a_0$
    (2)   $ \cos^3 x=b_3 \cos3 x+b_2 \cos2 x+b_1 \cos x+b_0$
    (3)   $ \cos^4 x=c_4 \cos4 x+c_3 \cos2 x+c_2 \cos x+c_1 \cos x+c_0$

2.77 (双曲線関数)   双曲線関数 $ \sinh(x)$ , $ \cosh(x)$ , $ \tanh(x)$ の定義を書け.

2.78 (双曲線関数)   次の問に答えよ.
    (1)  双曲線関数 $ \sinh x,\cosh x,\tanh x$ の定義を書け.
    (2)  双曲線関数$ \cosh x$ の逆関数 $ \cosh^{-1} x$ を対数関数で表せ.
    (3)  加法公式 $ \cosh (x+y)= \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$ を証明せよ.

2.79 (双曲線関数)   次の等式を証明せよ.
    (1)   $ \cosh^2 x - \sinh^2 x= 1$     (2)   $ \cosh (x \pm y)= \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y$
    (3)   $ \sinh (x \pm y)= \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y$     (4)   $ \sinh (x+y)= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$
    (5)   $ \cosh (x+y)= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y$     (6)   $ \displaystyle{\tanh (x+y)= \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y}}$
    (7)   $ \sin (x+y+z)= \sin x \cos y \cos z + \cos x \sin y \cos z \ + \cos x
\cos y \sin z - \sin x \sin y \sin z$
    (8)   $ \displaystyle{\sin^{-1} \left(\frac{4}{5}\right) + \sin^{-1}
\left(\frac{5}{13}\right) + \sin^{-1} \left(\frac{16}{65}\right) =
\frac{\pi}{2}}$
    (ヒント $ 16^2=256$ , $ 65^2=4225$ , $ 63^2=3969$ )
    (9)   $ \displaystyle{\cosh^2 x= \frac{1}{2} \cosh 2x+ \frac{1}{2}}$     (10)   $ \displaystyle{\cosh^3 x= \frac{1}{4} \cosh 3x+ \frac{3}{4} \cosh x}$

2.80 (双曲線関数)   $ t$ を任意の実数とするとき, $ x = 3 \cosh t$ , $ y = 2 \sinh t$ をみたす $ (x,y)$ のグラフを描け.

2.81 (関数の性質)   関数 $ f(x)=x^2$$ x<0$ において単調減少であり, $ x>0$ において単調増加であることを示せ.

2.82 (関数の性質)   次の関数についてグラフを描け.また下記の表を埋めよ.
(i)-(iv)についても述べよ.
(i)定義域と値域を述べよ.
(ii)多価関数であるか述べよ.また多価関数である場合は何価であるか述べよ.
(iii)周期関数の場合はその周期を述べよ.
(iv)偶関数または奇関数である場合はその種別を述べよ.
    (1)  $ 2x+3$ の逆関数     (2)  $ e^{-x}$ の逆関数     (3)  $ e^{-2x-1}$ の逆関数     (4)  $ x^2$ の逆関数
    (5)  $ x^2+2x+4$ の逆関数     (6)   $ \displaystyle{\frac{2x-1}{x+3}}$ の逆関数     (7)  $ \sin x$     (8)  $ \cos x$     (9)  $ \tan x$     (10)   $ \sin^{-1}x$
    (11)   $ \cos^{-1} x$     (12)   $ \tan^{-1} x$     (13)   $ \displaystyle{\mathrm{Sin}^{-1} x }$     (14)   $ \mathrm{Cos}^{-1} x$     (15)   $ \mathrm{Tan}^{-1} x$     (16)  $ \sinh x$
    (17)  $ \cosh x$     (18)  $ \tanh x$     (19)   $ \sinh^{-1} x$     (20)   $ \cosh^{-1} x$     (21)   $ \tanh^{-1} x$     (22)   $ \mathrm{Cosh}^{-1} x$
    (23)   $ x^2 + 5x + 6$     (24)   $ x^2 + 3x + 2$     (25)   $ \displaystyle \frac{x+1}{x-1}$     (26)   $ y=f(x)=1+e^{-x}$     (27)  $ e^x$
    (28)  $ \log x$     (29)   $ \displaystyle \frac{1}{1+e^{-x}}$     (30)  $ x\sin x$     (31)  $ \sin x^2$
問題 定義域 値域 価数 周期 (注1) 偶・奇関数 (注2)
(例1) $ \displaystyle{\ -\infty \textless x \textless \infty} $ $ \displaystyle{\ 0 \leq y \textless \frac{\pi}{2}}$ 2価 周期 $ \pi$
(例2) $ \displaystyle{\ 0 \textless x} $ $ \displaystyle{\ y \geq 1}$ 1価 周期 $ 2\pi$
(例3) $ \displaystyle{\ - 1 \leq x \leq 1} $ $ \displaystyle{\ -\infty \textless y \textless \infty}$ 無限多価 $ \times$ $ \times$
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
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(10)
(11)
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(14)
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(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)

(注1)周期関数である場合は周期の値を書き, 周期関数ではない場合は×とする.
(注2)偶関数である場合は偶,奇関数である場合は奇, どちらでもない場合は×と書く.


平成19年10月3日