3.8 対数関数の微分

定理 3.20 (対数関数の微分)  

$$\frac{d}{dx}\,\log x=\frac{1}{x}$$

問 3.21   これを示せ．

（証明） $y=f(x)=\log x$ とおき定義に従い計算すると，

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{\log(x+h)-\log(x)}{h}$$

$$= \lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(\log(x+h)-\log(x)\right) = \lim_{h... ...{h}\log\frac{x+h}{x} = \lim_{h\to0}\log\left(\frac{x+h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}$$

$$= \lim_{h\to0}\log\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}} = \lim... ...0} \frac{1}{x}\log \left(1+\frac{1}{\quad\frac{x}{h}\quad}\right)^{\frac{x}{h}}$$

$$= \frac{1}{x}\log\left\{ \lim_{h\to0} \left(1+\frac{1}{\quad\frac... ...og\left\{ \lim_{z=\frac{x}{h}\to\infty} \left(1+\frac{1}{z}\right)^{z} \right\}$$

$$= \frac{1}{x}\log e = \frac{1}{x}$$

を得る．

平成19年10月3日