3.9 指数関数の微分

定理 3.22 (指数関数の微分)  

$$\frac{d}{dx}\,a^{x} =(\log a)\,a^{x}\,$$

$$\frac{d}{dx}\,e^{x} =e^{x}\,$$

関数 $e^{x}$ は微分演算 $${\frac{d}{dx}}$$ に関して恒等的である．

問 3.23   これを示せ．

（証明） $y=f(x)=a^{x}$ とおく． このとき逆関数とその微分は

$$x=f^{-1}(y)=\log_{a}y= \frac{\log y}{\log a}\,,\qquad \frac{dx}{dy}=\frac{\quad\displaystyle{\frac{1}{y}}\quad}{\log a}= \frac{1}{(\log a)y}$$

である．これと逆関数の微分公式より

$$\frac{dy}{dx}=f'(x)=\frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\qu... ...\frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{1}{(\log a)y}}\quad}= (\log a)y=(\log a)a^{x}$$

を得る．

平成19年10月3日