3.10 実数べきのべき関数の微分

定理 3.24 (べき関数の微分)  

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,x^{\alpha}= \alpha\,x^{\alpha-1} \quad(\alpha\in\mathbb{R})$    


(証明) $ (\log x)'=1/x$ $ (e^{x})'=e^{x}$ は証明済みである. これを用いて証明をする. このとき

$\displaystyle y$ $\displaystyle =f(x)=x^{\alpha}=(e^{\log x})^{\alpha}=e^{\alpha\,\log x}$    

と表されるのでこれを微分すると

$\displaystyle y'$ $\displaystyle = \left(e^{\alpha\,\log x}\right)'= \left(e^{\alpha\,\log x}\righ...
...lpha\,\log x}\frac{\alpha}{x}= x^{\alpha}\frac{\alpha}{x}= \alpha\,x^{\alpha-1}$    

を得る.




平成19年10月3日