3.17 接線の方程式

定義 3.50 (接線)   関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $P(a,f(a))$ , $Q(a+h,f(a+h))$ を 通る直線 $l$ を考える． 極限 $h\to0$ において直線 $l$ が直線 $L$ に近づくとする． このとき直線 $L$ を 関数 $f(x)$ の点 $x=a$ における接線（tangent）と呼ぶ．

定理 3.51 (接線の方程式)   関数 $f(x)$ の点 $x=a$ における接線の方程式は

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$

である．

（証明） 点 $(a,f(a))$ と $(a+h,f(a+h))$ を通る直線の方程式は

$$y=f(a)+\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}(x-a)$$

である．$h\to0$ の極限をとると微分係数の定義より

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$

を得る．

注意 3.52 (関数の線形近似)   接線の方程式は点 $x=a$ における関数 $f(x)$ の 1 次（線形）近似ともいう． ちなみに関数 $f(x)$ の $x=a$ における 0 次近似は $y=f(a)$ である．

例 3.53 (接線の方程式の具体例)   関数 $f(x)=x^3$ の点 $x=2$ における接線の方程式は

$$y=12x-16$$

である．

平成19年10月3日