3.16 $C^n$ 級の関数

定理 3.44 (微分可能性と連続性)   $f(x)$ が $x=a$ で微分可能なとき， $f(x)$ は $x=a$ で連続である．

（証明） 点 $x=a$ で微分が可能なので

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$$

が成り立つ．これより

$$\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right)=0$$

となる．ここで

$$\varepsilon(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)$$ (5)

とおく．このとき

$$\lim_{x\to a}\varepsilon(x)=0$$

である．()式を変形すると

$$f(x)-f(a)=f'(a)(x-a)+\varepsilon(x)(x-a)$$

となる．右辺を $x\to a$ の極限をとる． すると

$$\lim_{x\to a}\left(f'(a)(x-a)+\varepsilon(x)(x-a)\right)= f'(a)\times0+0\times0=0$$

である．よって左辺も 0 となるので

$$\lim_{x\to a}(f(x)-f(a))=0 \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$

を得る．よって $f(x)$ は $x=a$ で連続である．

定義 3.45 ($C^n$ 級関数)   $f(x)$ が連続関数のとき $f(x)$ を$C^0$ 級の関数という． 関数 $f(x)$ が $n$ 回微分可能であり， $f^{(n)}(x)$ が連続関数であるとき， $f(x)$ を$n$ 回連続微分可能な関数といい， $C^{n}$ 級の関数という． また何回でも微分が可能な関数を 無限回微分可能な関数といい， $C^{\infty}$ 級の関数という．

例 3.46 ($C^n$ 級関数の具体例)   多項式関数，$\sin x$ , $e^{x}$ は $C^\infty$ 級の関数である．

注意 3.47 ($C^n$ 級関数の集合)   $C^{n}$ 級の関数全体の集合を $C^{n}$ と書くとする． このとき

$$C^{0}\subset C^{1} \subset C^{2} \subset \cdots \subset C^{n}\subset \cdots \subset C^{\infty}$$

が成り立つ．

例 3.48 ($C^n$ 級関数の具体例)  

$$C^{0}\ni f_1(x)=\vert x\vert\,, C^{1}\ni f_2(x)= \left\{ \begin{array}{cc} -x^2 & (x\geq 0)\\ x^2 & (x\leq 0) \end{array}\right.\, C^{2}\ni f_3(x)=\vert x^3\vert$$

問 3.49 ($C^n$ 級関数)   次の関数はどの $C^n$ 級に含まれるか述べよ．

$$(1)\quad f(x)=2x^3+3x+5 (2)\quad f(x)=\mathrm{Tan}^{-1}(x)$$

平成19年10月3日