3.16
級の関数
定理 3.44 (微分可能性と連続性)が
で微分可能なとき,
は
で連続である.
(証明) 点
で微分が可能なので
が成り立つ.これより
となる.ここで
とおく.このとき
である.()式を変形すると
となる.右辺をの極限をとる. すると
である.よって左辺も 0 となるので
を得る.よっては
で連続である.
定義 3.45 (級関数)
が連続関数のとき
を
級の関数という. 関数
が
回微分可能であり,
が連続関数であるとき,
を
回連続微分可能な関数といい,
級の関数という. また何回でも微分が可能な関数を 無限回微分可能な関数といい,
級の関数という.
例 3.46 (級関数の具体例) 多項式関数,
,
は
級の関数である.
注意 3.47 (級関数の集合)
級の関数全体の集合を
と書くとする. このとき
が成り立つ.
例 3.48 (級関数の具体例)
問 3.49 (級関数) 次の関数はどの
級に含まれるか述べよ.
平成19年10月3日