4.3 $\epsilon$ 論法

定義 4.9 (数列の極限)   数列 $\{a_n\}$ と実数 $\alpha$ が次の条件(i)をみたすとき

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$$

と表記する．

(i) 任意の正の数 $\epsilon$ に対して， $n\geq N$ のとき $\vert a_n-\alpha\vert<\epsilon$ をみたす 自然数 $N$ が存在する．

例 4.10 (数列の極限の証明の例)   数列 $${a_n=\frac{1}{n}}$$ の極限

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$

の証明をする． 任意の $\epsilon>0$ に対して自然数 $N$ を $${N>\frac{1}{\epsilon}}$$ となるように選ぶ． このとき $n\geq N$ ならば

$$0<\frac{1}{n}\leq\frac{1}{N}<\epsilon$$

となるので

$$\vert a_{n}-0\vert= \left\vert \frac{1}{n}-0 \right\vert \leq \frac{1}{N} < \epsilon$$

より

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$

を得る．

問 4.11 (数列の極限)   数列 $\{a_n\}$ が

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$$

をみたすとき

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\alpha$$

となることを示せ．

平成19年10月3日