4.9 数列の有界性と単調性

定義 4.27 (有界数列)   数列 $\{a_{n}\}$ に対して次の性質を定義する．

• $a_{n}\le M$ をみたすとき， 数列 $\{a_{n}\}$ は上に有界（bounded from above） であるという． $M$ を上界（upper bound）と呼ぶ．
• $m\le a_{n}$ をみたすとき， 数列 $\{a_{n}\}$ は 下に有界（bounded from below）であるという． $m$ を下界（lower bound）と呼ぶ．
• $m\le a_{n}\le M$ をみたすとき， 数列 $\{a_{n}\}$ は有界（bounded）であるという．

有界な数列を有界数列（bounded sequence）と呼ぶ．

例 4.28 (有界な数列の具体例)   $a_{n}=(-1)^{n-1}$ は $-1\leq a_{n}\leq 1$ をみたすので有界である．

定義 4.29 (単調数列)   数列 $\{a_{n}\}$ に対して次の性質を定義する．

• $a_{n}<a_{n+1}$ をみたすとき， 数列 $\{a_{n}\}$ は 単調増加（monotonic increasing）であるという．
• $a_{n}\leq a_{n+1}$ をみたすとき， 数列 $\{a_{n}\}$ は 広義の単調増加 （monotonic increasing in the wider sense）であるという．
• $a_{n}>a_{n+1}$ をみたすとき， 数列 $\{a_{n}\}$ は 単調減少（monotonic decreasing）であるという．
• $a_{n}\geq a_{n+1}$ をみたすとき， 数列 $\{a_{n}\}$ は 広義の単調減少（monotonic decreasing in the wider sense）で あるという．

単調増加もしくは単調減少な数列を総称して 単調数列（monotonic sequence）と呼ぶ．

定理 4.30 (有界な単調数列の収束性)   有界な広義の単調数列は収束する．

例 4.31 (有界な単調数列の具体例)   数列

$$a_{n}=\frac{2n-3}{5n+1}$$

を考える．

$$a_{n+1}-a_{n}=\frac{17}{(5n+6)(5n+1)}>0 \qquad \Rightarrow \qquad a_{n}<a_{n+1}$$

をみたすので $a_{n}$ は単調増加である． 初項 $a_{1}=-1/6$ は下界となる． 上界は

$$\frac{2}{5}-a_{n}=\frac{17}{5(5n+1)}>0 \qquad \Rightarrow\qquad a_{n}< \frac{2}{5}$$

により求まる． $-1/6\leq a_{n}<2/5$ となるので $a_{n}$ は有界である． 定理より $a_{n}$ は収束する． 実際，極限を求めると

$$\lim_{n\to\infty}a_{n}= \lim_{n\to\infty}\frac{2n-3}{5n+1}= \lim_{n\to\infty}\frac{2-3/n}{5+1/n}= \frac{2-0}{5+0}=\frac{2}{5}$$

と得られる．

平成19年10月3日