4.10 級数

級数（series）とは数列 $\{a_{n}\}$ の和である． 式では

$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}+\cdots$$ (10)

$$=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum a_{n}$$ (11)

と書き表す． 加法（足し算）は有限回の演算においてのみ定義されているので， 式（）は形式的な和である． 厳密に級数を定義するには次のように考える． まず第 $n$ 項までの有限和

$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$$

を考える． これを第 $n$ 部分和（the $n$ -th partial sum）と呼ぶ． $S_{n}$ に関する数列

$$\{S_{n}\}=S_1,S_2,\cdots,S_{n}$$

を考える． 数列 $\{S_{n}\}$ の極限

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}$$

が存在したとする． このとき級数 $\sum a_{n}$ は存在し， その値は

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=S$$

で与えられると定義する． 極限 $S$ が存在するとき級数 $\sum a_{n}$ は収束すると呼ぶ． 極限 $S$ が存在しない場合は級数 $\sum a_{n}$ は発散すると呼ぶ．

定義 4.32 (級数)   数列 $\{a_{n}\}$ の和 $\sum a_{n}$ を級数（series）と呼び， その値は

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}$$

で定義する． この極限が存在するとき 級数 $\sum a_{n}$ は収束する（convergent）といい， 収束しない場合を 級数 $\sum a_{n}$ は発散する（divergent）という．

定理 4.33 (級数の収束)   $\sum a_{n}$ , $\sum b_{n}$ が収束するとき， $\sum (\alpha\,a_{n}+\beta\,b_{n})$ もまた収束する． ただし $\alpha$ , $\beta$ は定数とする． このとき

$$\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha\,a_{n}+\beta\,b_{n})= \alpha \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}+ \beta \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$$

が成り立つ．

注意 4.34 (順番の入れ替え)   定理 は級数が収束するときに限り， 各項を足し合わせる順番を入れ替えてもよいことを意味する． 発散する場合は足し算の順番を入れ替えることはできない．

例 4.35 (無限級数の結合則)   数列 $a_{n}=(-1)^{n-1}$ の 級数 $${S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}}$$ を考える． すなわち

$$S =1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots$$

である． 足し算の順を入れ替えると

$$S =(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots$$

$$=0+0+0+0+\cdots=0$$

となる．また別の順で足し合わせると

$$S =1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots$$

$$=1+0+0+0+\cdots=1$$

となる． これらは矛盾する． どこが誤りであろうか？ 有限の項の和の常識は無限の項の和には通用しない． この場合の間違いは足し算の順を変えたことである． この例では結合則が成り立たない． 定義 に従えば級数 $S$ は発散である．

問 4.36 (級数の計算)  

$$(1)\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n} (2)\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-n}$$

平成19年10月3日