4.12 正項級数

定義 4.45 (正項級数)   級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}$$ のうち $a_{n}\geq0\ (n=1,2,\cdots)$ をみたすものを 正項級数（positive term series）と呼ぶ．

注意 4.46 (正項級数の単調性)   正項級数 $\sum a_{n}$ の部分和の数列 $\{S_{n}\}$ は単調増加である．

（証明） $S_{n+1}-S_{n}=a_{n}\geq0$ より $S_{n}$ は広義の単調増加である． 証明終了．

定理 4.47 (正項級数の収束定理)   正項級数 $\sum a_{n}$ の部分和から得られる数列 $\{S_{n}\}$ が上に有界なとき， $\sum a_{n}$ は収束する．

（証明） $S_{n}$ は広義の単調増加である． 有界な単調数列は収束するので， $S_{n}$ が上に有界なとき $\sum a_{n}$ は収束する． 証明終了．

例 4.48 (正項級数の収束定理の具体例)   正項級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}$$ を考える． 部分和は

$$S_{n} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}$$

$$=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}++\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\right)$$

$$=a(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})$$

$$=a\frac{1-r^{n-1}}{1-r}= \left(\frac{1}{2}\right) \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}= 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$

となるので

$$1-S_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}>0 \qquad \Rightarrow \qquad S_{n}<1$$

を得る．$\{S_{n}\}$ は上に有界である． よって定理より級数 $\sum(1/2)^{n}$ は収束する． 実際，極限を計算すると 前述の例題より $\sum\left(\frac{1}{2}\right)^n=1$ である．

定理 4.49 (正項級数の収束定理)   正項級数 $\sum a_{n}$ に関して $\{S_{n}\}$ が 有界なとき $\sum a_{n}$ は収束する．

定理 4.50 (正項級数の収束定理)   正項級数 $\sum a_{n}$ が収束するとき $${\lim_{n\to\infty}a_{n}=0}$$ が成り立つ．

平成19年10月3日