4.12 正項級数
定義 4.45 (正項級数) 級数のうち
をみたすものを 正項級数(positive term series)と呼ぶ.
注意 4.46 (正項級数の単調性) 正項級数の部分和の数列
は単調増加である.
(証明)より
は広義の単調増加である. 証明終了.
定理 4.47 (正項級数の収束定理) 正項級数の部分和から得られる数列
が上に有界なとき,
は収束する.
(証明)は広義の単調増加である. 有界な単調数列は収束するので,
が上に有界なとき
は収束する. 証明終了.
例 4.48 (正項級数の収束定理の具体例) 正項級数を考える. 部分和は
となるので
を得る.は上に有界である. よって定理より級数
は収束する. 実際,極限を計算すると 前述の例題より
である.
定理 4.49 (正項級数の収束定理) 正項級数に関して
が 有界なとき
は収束する.
定理 4.50 (正項級数の収束定理) 正項級数が収束するとき
が成り立つ.
平成19年10月3日