4.13 正項級数に関する収束性の比較判定法
定理 4.51 (比較判定法) 二つの正項級数
を考える.数列 , がある正の整数 に対して
をみたすとき, 次の関係が成り立つ:
- (i)
- が収束するとき, も収束する.
- (ii)
- が発散するとき, も発散する.
例 4.52 (比較判定法の具体例) 級数 を考える. 数列 , とする. このとき をみたす. また,級数 は収束する. よって定理より級数 もまた収束する.
定理 4.53 (比較判定法) 二つの正項級数
を考える. 数列 , が
を満たし,かつ級数 が収束するとき, 級数 も収束する.
例 4.54 (調和級数) 級数 を 調和級数(harmonic series)という. 調和級数は発散する.
(証明)調和級数の部分和
の各項を括り直して
とおき直す. ただし であり とおく. ここで,数列 と をみたす数列 を
とおく. このとき,
が成り立つ. であり であるから, 比較判定法より
を得る.以上証明終り.
例 4.55 (収束判定の具体例)
より
は収束する.
例 4.56 (収束判定の具体例)
より, は収束するので も収束する.
定理 4.57 (級数の収束)
例 4.58 (比較判定法の具体例) 級数
は, より, となる. は発散するので も発散する.
定理 4.59 (級数の収束) に対して
平成19年10月3日