4.14 正項級数に関するダランベールの収束判定法

定理 4.60 (ダランベールの収束判定法)   正項級数 $ \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\ (a_{n}\geq0)}$ は, 極限

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=L$    

により,級数の収束性の判定ができる:
(i)
$ 0\leq L<1$ のとき, $ \sum a_{n}$ は収束する.
(ii)
$ L>1$ のとき, $ \sum a_{n}$ は発散する.
(iii)
$ L=1$ のとき, $ \sum a_{n}$ の収束性は判定できない.

4.61 (ダランベールの判定法の具体例)   級数

$\displaystyle S$ $\displaystyle = 1+\vert x\vert+ \frac{\vert x\vert^2}{2}+ \frac{\vert x\vert^3}...
...= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\vert x\vert^{n-1}}{(n-1)!} \qquad (x\in\mathbb{R})$    

を考える. $ \displaystyle{a_{n}=\frac{\vert x\vert^{n-1}}{(n-1)!}>0}$ であるから, $ S$ は正項級数である. よって

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \lim_{n\to\infty} \frac{...
...} \frac{(n-1)!}{\vert x\vert^{n-1}}= \lim_{n\to\infty} \frac{\vert x\vert}{n}=0$    

が成り立つので,ダランベールの判定法より級数は収束する.

4.62 (ダランベールの判定法で判定できない例)   調和級数 $ \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}$ を考える. 隣り合う項の比の極限は

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}\times\frac{n}{1}= \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1$    

となるのでダランベールの判定法定法では判定できない. 前述のように別の方法で行う.




平成19年10月3日