5.2 演習～べき級数

問 5.8 (べき級数) べき級数 $\displaystyle{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n}$ は (i) $\displaystyle{r= \lim_{n \to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\vert c_n\vert}}}$ ， (ii) $\displaystyle{r= \lim_{n \to\infty}\left\vert\frac{c_n}{c_{n+1}}\right\vert}$ が存在するとき $\left\vert x-a\right\vert<r$ において絶対収束することを示せ．

問 5.9 (べき級数) 次のべき級数の収束半径を求めよ．
    (1)   $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}}$     (2)   $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}n!\, x^n}$     (3)   $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}x^n}$     (4)   $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}(x-1)^{n}}$     (5)   $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}n\,(x+1)^{n}}$
    (6)   $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}n!\,(x+2)^{n}}$     (7)   $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(3^n-2^{n+1})x^n}$     (8)   $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^n}}$     (9)   $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}}$     (10)   $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}x^n}$
    (11)   $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}(x-2)^{n}}$     (12)   $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{2^n n^2}}$     (13)   $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n}$     (14)   $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^n}{n!}x^n}$     (15)   $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n}$
    (16)   $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3^n}x^n}$     (17)   $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{2^n n^2}}$     (18)   $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n}$     (19)   $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n}}$
    (20)   $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\,x^n}$     (21)   $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{\sqrt{n(n+1)}}}$     (22)   $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}}$     (23)   $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nn\,(x-1)^{n}}$

5.2 演習 ～ べき級数

5.2 演習～べき級数