5.3 テイラー級数

べき級数 $ \sum c_{n}\,(x-a)^n$$ x$ についての関数である. これを

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^n \qquad (\vert x-a\vert<r)$    
  $\displaystyle = c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^2+\cdots+ c_{n}(x-a)^{n}+\cdots$    

とおく. 数列 $ \{c_{n}\}$ が一つ与えられると 関数 $ f(x)$ が一つ定まる. すなわち

数列:$\displaystyle \,\,\{c_{n}\} \quad\to$   関数:$\displaystyle \,\,f(x)\quad(\vert x-a\vert<r)$    

との対応関係がある. それでは関数 $ f(x)$ が一つ与えられたとき, べき級数 $ \sum c_{n}(x-a)^n$ の係数である $ \{c_{n}\}$ は どのような値に定まるであろうか. すなわち,問題として対応関係

関数:$\displaystyle \,\,f(x) \quad\to$   数列:$\displaystyle \,\,\{c_{n}\}=\,?$    

を考える.

定理 5.10 (テイラー級数)   関数 $ f(x)$$ \infty$ 回微分可能なとき,

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = f(a)+ \frac{f'(a)}{1!}(x-a)+ \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+ \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+$    
  $\displaystyle \qquad\qquad\cdots+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots$    
  $\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}}{n!}(x-a)^{n}\qquad (\vert x-a\vert<r)$    

が成り立つ. ただし点 $ x=a$ は定義内のある点とする. このべき級数を関数 $ f(x)$ に関する $ x=a$ まわりの テイラー級数(Taylor series)と呼ぶ. 特に $ a=0$ のときは, マクローリン級数(Maclaurin series)と呼ぶ.

注意 5.11 (テイラー級数の収束半径)   テイラー級数はべき級数 $ \sum c_{n}(x-a)^n$

$\displaystyle c_{n}=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$    

とおいたものである. よってテイラー級数の収束半径は

$\displaystyle r$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \...
...rt= \lim_{n\to\infty} \left\vert(n+1)\frac{f^{(n)}(a)}{f^{(n+1)}(a)}\right\vert$    

により求まる.


平成19年10月3日