5.4 テイラー級数の導出

べき級数

$\displaystyle f(x)$

$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}$

を考える．関数が与えられたとし，テイラー級数の係数 $\{c_{n}\}$ を導出する．がに十分近いとき $(x-a)^{n}$ は次数が大きいほど小さくなる．つまり小さい次数の項が主要な項となる．よって小さい次数の係数より順に値を定めて行く．

まずべき級数

$\displaystyle f(x)$

$\displaystyle =c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^2+c_{3}(x-a)^3+ c_{4}(x-a)^4+c_{5}(x-a)^5+\cdots$

にを代入する．すると

$\displaystyle f(a)$

$\displaystyle =c_{0}+0+0+\cdots=c_{0}$

となる．よって係数を $c_{0}=f(a)$ と定める．べき級数は

$\displaystyle f(x)$

$\displaystyle =f(a)+ c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^2+c_{3}(x-a)^3+ c_{4}(x-a)^4+c_{5}(x-a)^5+\cdots$

となる．両辺を微分すると

$\displaystyle f'(x)$

$\displaystyle = c_{1}+2c_{2}(x-a)+3c_{3}(x-a)^2+ 4c_{4}(x-a)^3+5c_{5}(x-a)^4+\cdots$

を得る．ここにを代入すると

$\displaystyle f'(a)$

$\displaystyle =c_{1}+0+0+\cdots=c_{1}$

となるので係数を $c_{1}=f'(a)$ と定める．このときべき級数とその導関数は

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =f(a)+ f'(a)(x-a)+c_{2}(x-a)^2+c_{3}(x-a)^3+ c_{4}(x-a)^4+c_{5}(x-a)^5+\cdots$
$\displaystyle f'(x)$	$\displaystyle = f'(a)+2c_{2}(x-a)+3c_{3}(x-a)^2+ 4c_{4}(x-a)^3+5c_{5}(x-a)^4+\cdots$

となる．これで次の項までの係数が定まった．の最初の二つの項までをみるとにおける接線の方程式となっている．次に階，階の導関数と求めて行くと

$\displaystyle f''(x)$	$\displaystyle = 2\cdot c_{2}+ 3\cdot2\cdot c_{3}(x-a)+ 4\cdot3\cdot c_{4}(x-a)^2+ 5\cdot4\cdot c_{5}(x-a)^3+ \cdots$
$\displaystyle f'''(x)$	$\displaystyle = 3\cdot2\cdot c_{3}+ 4\cdot3\cdot2\cdot c_{4}(x-a)+ 5\cdot4\cdot3\cdot c_{5}(x-a)^2+ \cdots$
$\displaystyle f^{(4)}(x)$	$\displaystyle = 4\cdot3\cdot2\cdot c_{4}+ 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot c_{5}(x-a)+ \cdots$
$\displaystyle f^{(5)}(x)$	$\displaystyle = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot c_{5}+\cdots$

となる．を代入すると

$\displaystyle f''(a)$	$\displaystyle = 2\cdot c_{2}+0+0+\cdots$
$\displaystyle f'''(a)$	$\displaystyle = 3\cdot2\cdot c_{3}+0+0+\cdots$
$\displaystyle f^{(4)}(a)$	$\displaystyle = 4\cdot3\cdot2\cdot c_{4}+0+0+\cdots$
$\displaystyle f^{(5)}(a)$	$\displaystyle = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot c_{5}+0+0+\cdots$