5.5 指数関数のテイラー級数

例 5.12 (指数関数のテイラー級数)

$\displaystyle e^{x}$

$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+ \frac{x^n}{n!}+\cdots \quad (\vert x\vert<\infty)\,.$

（導出） $f(x)=e^{x}$ とおく．導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)=e^{x}\,,\quad f'(x)=e^{x}\,,\quad f''(x)=e^{x}\,,\quad f'''(x)=e^{x}\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(x)=e^{x}$

となる．点における微分係数は

$\displaystyle f(0)=1\,,\quad f'(0)=1\,,\quad f''(0)=1\,,\quad f'''(0)=1\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(0)=1$

である．よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$

$\displaystyle =e^{x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}= \sum_{n=0}... ...frac{1}{n!}x^{n}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$

と求まる．べき級数 $\sum c_{n}(x-a)^n$ の収束半径を求める．係数は

$\displaystyle c_{n}=\frac{1}{n!}$

であるから，収束半径として

$\displaystyle r$

$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \... ...o\infty} \left\vert\frac{(n+1)!}{n!}\right\vert= \lim_{n\to\infty} (n+1)=\infty$

を得る．

例 5.13 (指数関数のテイラー級数) のまわりでのテイラー級数は，

$\displaystyle f(1)=e\,,\quad f'(1)=e\,,\quad f''(1)=e\,,\quad f'''(1)=e\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(1)=e$

より，

$\displaystyle e^{x}$	$\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n$
	$\displaystyle = e+e(x-1)^2+\frac{e}{2}(x-1)^2+ \frac{e}{6}(x-1)^3+\cdots+ \frac{e}{n!}(x-1)^n+\cdots$

である．収束半径は

$\displaystyle r$

$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \... ...eft\vert\frac{e}{n!}\frac{(n+1)!}{e}\right\vert= \lim_{n\to\infty} (n+1)=\infty$

である．