5.7 対数関数のマクローリン級数

例 5.15 (対数関数のテイラー級数)

$\displaystyle \log(1+x)$

$\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+ \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}+\cdots \quad (\vert x\vert<1)\,.$

（導出） $f(x)=\log(1+x)$ とおく．導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)$

$\displaystyle =\log(1+x)\,,\quad f'(x)=\frac{1}{1+x}\,,\quad f''(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}\,,\quad f'''(x)=\frac{(-1)(-2)}{(1+x)^3}\,,\quad \cdots$

となる．一般的には $n\geq1$ に対して

$\displaystyle f^{(n)}(x)$

$\displaystyle = \frac{(-1)(-2)(-3)\cdots(-n+1)}{(1+x)^n}= \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$

と表わされる．点における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$

$\displaystyle = (-1)^{n-1}(n-1)!$

となる．よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}= f(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$
	$\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}x^{n}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n}$

と得られる．収束半径を求める．

$\displaystyle c_{n}$

$\displaystyle = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$

とおくと，

$\displaystyle r$

$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert = ... ...\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) =1$

と得られる．