2.2 極限
定義 2.9 (極限) 関数において, 定義域内の点
を点
に近づけるとする. ただし
とする. このとき, 近づけ方に依らず
が同じ 1 つの値
に近づくならば,
は極限(limit)
が存在する, または,
は
に収束する(convergent) といい,
と表記する.
注意 2.10 (極限)とは限らない.
注意 2.11 (極限) 近づけ方によって,の値が異なるときは,極限が存在しない.
例 2.12 (極限) 関数
の原点への極限を考える.
であることに注意する.
(a)
軸(
の直線)に沿って近づける場合.
を代入した後に
の極限を考える. このとき,
が成り立つ.(b)
軸(
の直線)に沿って近づける場合.
を代入した後に
の極限を考える. このとき,
が成り立つ.(c) 直線
に沿って近づける場合. ただし,
は任意の実数とする.
を代入した後に
の極限を考える. このとき,
が成り立つ.(a), (b), (c)より, 近づけ方が異なれば
が近づく値も変わるので, 極限
は存在しない.
例 2.13 (極限) 関数
の原点への極限を考える.
であることに注意する. (a)
軸(
の直線)に沿って近づける場合.
を代入した後に
の極限を考える. このとき,
が成り立つ. (b) 直線に沿って近づける場合. ただし,
は任意の実数とする.
を代入した後に
の極限を考える. このとき,
が成り立つ. ここで,とおいた. (a), (b), より, 全方向から近づけたとき同じ値
に収束するので, 極限
が存在する.
例 2.14 (極限) 関数
の原点への極限を考える. 全方向から近づけるために,
とおき,の極限を考える. ただし,
は
の 任意の実数とする. このとき,
となり, 極限
が存在する.
平成20年2月2日