2.1 2 変数関数

定義 2.1 (2 変数関数)   変数 $x$, $y$ の値に対応して変数 $z$ の値が定まるとき，

$$z=f(x,y)$$

と表記し，$f$ を2 変数関数という． このとき $x,y$ を独立変数（independent variable）， $z$ を従属変数（dependent variable）という．

例 2.2 (2 変数関数の具体例)   関数 $f(x,y)$ が

$$f(x,y)=x^2+5xy+2y^2$$

と与えられるとき，$f(2,-3)$ と表記するときは

$$f(2,-3)=(2)^2+5(2)(-3)+2(-3)^2=-8$$

を意味する．

問 2.3 (2 変数関数)   関数 $f(x,y)=x^3-2x^2y+3y^2$ に対して， 値 $f(0,1)$, $f(1,1)$, $f(2,0)$, $f(1,-1)$ を求めよ．

定義 2.4 (定義域)   関数 $z=f(x,y)$ の 独立変数の組 $(x,y)$ がとりうる領域を定義域（domain）という． 定義域 $D$ は $xy$ 平面上の集合である． 境界を含む場合を閉領域（closed domain）と呼び， 境界を含まない場合を開領域（open domain）と呼ぶ．

例 2.5 (定義域の具体例)   境界を含む長方形領域

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{a\leq x\leq b,\,c\leq y\leq d}\,\right\}$$

は閉領域である． 境界を含まない長方形領域

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{a<x<b,\,c<y<d}\,\right\}$$

は開領域である．

例 2.6 (定義域の具体例)   原点を中心とする半径 $a$ の円の境界とその内部の領域

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$$

は閉領域である． 原点を中心とする半径 $a$ の円の内部の領域

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2< a^2}\,\right\}$$

は開領域である．

例 2.7 (実平面)   実 $2$ 次元平面

$$\mathbb{R}^{2}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{-\infty<x<\infty,\,-\infty<y<\infty}\,\right\}$$

は開領域である．

注意 2.8 ($2$ 変数関数のグラフ)   定義域 $D$ は $\mathbb{R}^2$ 平面内の集合である． 一方， $z=f(x,y)$ をみたす点 $(x,y,z)$ の集合は $3$ 次元空間 $\mathbb{R}^3$ 内の曲面を表す． この曲面を関数 $z=f(x,y)$ のグラフという．

平成20年2月2日