2.8 高階偏微分

関数 $z=f(x,y)$ の 1 階偏導関数 $f_x(x,y)$, $f_y(x,y)$ は $x$, $y$ に関する 2 変数関数であるから， さらに $x$ または $y$ に関して偏微分することができる． このとき

$$\frac{\partial f}{\partial x}=f_x \quad \overset{\frac{\partial}{... ...rac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}= (f_x)_x=f_{xx},$$

$$\frac{\partial f}{\partial x}=f_x \quad \overset{\frac{\partial}{... ...tial f}{\partial x}= \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}= (f_x)_y=f_{xy},$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=f_y \quad \overset{\frac{\partial}{... ...tial f}{\partial y}= \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= (f_y)_x=f_{yx},$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=f_y \quad \overset{\frac{\partial}{... ...frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}= (f_y)_y=f_{yy}$$

と表記する． これを2 階偏導関数という． さらに偏微分すると

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f_{xx} \quad \overset{\frac{\pa... ...tial^2 f}{\partial x^2}= \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}= (f_{xx})_x=f_{xxx},$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f_{xx} \quad \overset{\frac{\pa... ...\partial x^2}= \frac{\partial^3 f}{\partial y\partial x^2}= (f_{xx})_y=f_{xxy},$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=f_{xy} \quad \overset{\... ...ial x}= \frac{\partial^3f}{\partial x\partial y\partial x}= (f_{xy})_x=f_{xyx},$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=f_{xy} \quad \overset{\... ...l y\partial x}= \frac{\partial^3f}{\partial y^2\partial x}= (f_{xy})_y=f_{xyy},$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=f_{yx} \quad \overset{\... ...l x\partial y}= \frac{\partial^3f}{\partial x^2\partial y}= (f_{yx})_x=f_{yxx},$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=f_{yx} \quad \overset{\... ...ial y}= \frac{\partial^3f}{\partial y\partial x\partial y}= (f_{yx})_y=f_{yxy},$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=f_{yy} \quad \overset{\frac{\pa... ...\partial y^2}= \frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}= (f_{yy})_x=f_{yyx},$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=f_{yy} \quad \overset{\frac{\pa... ...rtial^2 f}{\partial y^2}= \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}= (f_{yy})_y=f_{yyy}$$

と表記し3 階偏導関数という． さらに偏微分を繰り返して $x$, $y$ についてあわせて $n$ 回偏微分して できた導関数を

$$\frac{\partial^n f}{\partial x^k\cdots\partial y^j\partial x^i} =... ... \text{{\scriptsize$\underbrace{x\!\cdots\!x}_{k}$}}} \,, \qquad i+j+\cdots+k=n$$

と表記し，$n$ 階偏導関数という．

例 2.35 (高階導関数)   関数 $f(x,y)=2x^3+5xy+2y^2$ の高階偏導関数は，

$$f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=6x^2+5y, f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=5x+4y,$$

$$f_{xx}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x}(6x^2+5y)=(6x^2+5y)_{x}=12x, f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}= \frac{\partial}{\partial y}(6x^2+5y)=(6x^2+5y)_{y}=5,$$

$$f_{yx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{\partial}{\partial x}(5x+4y)=(5x+4y)_{x}=5, f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial y}(5x+4y)=(5x+4y)_{y}=4,$$

$$f_{xxx}=\frac{\partial^3f}{\partial x^3}= \frac{\partial}{\partial x}(12x)=(12x)_{x}=12, f_{xxy}=\frac{\partial^3f}{\partial y\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial y}(12x)=(12x)_{y}=0,$$

$$f_{xyx}=\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}(5)=(5)_{x}=0, f_{xyy}=\frac{\partial^3 f}{\partial y^2\partial x}= \frac{\partial}{\partial y}(5)=(5)_{x}=0,$$

$$f_{yxx}=\frac{\partial^3 3}{\partial x^2\partial y}= \frac{\partial}{\partial x}(5)=(5)_{x}=0, f_{yxy}=\frac{\partial^3 3}{\partial y\partial x\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}(5)=(5)_{y}=0,$$

$$f_{yyx}=\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial x}(4)=(4)_{x}=0, f_{yyy}=\frac{\partial^3 f}{\partial y^3}= \frac{\partial}{\partial y}(4)=(4)_{y}=0$$

となり，さらに $4$ 階以上の偏導関数はすべて 0 となる． ここで，この関数の場合は

$$f_{xy}=f_{yx}, \qquad f_{xxy}=f_{xyx}=f_{yxx}, \qquad f_{yyx}=f_{yxy}=f_{xyy}$$

となることに注意する．

注意 2.36 (偏微分の可換性)   一般には偏微分は交換可能ではない：

$$\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}\neq \frac{\partial^2}{\partial y\partial x}, \qquad f_{xy}\neq f_{yx}$$

定理 2.37 (偏微分の可換性)   関数 $f(x,y)$ において，$f_{xy}$, $f_{yx}$ が存在し， かつこれらが連続関数であるとき， $f_{xy}=f_{yx}$ が成り立つ． （注意）逆は成り立たない．

注意 2.38 (偏微分の可換性)   偏微分が可換となる十分条件は他にも色々あるが， 実用上は上の定理が一番有用である． ほとんどの普通の関数はこの定理の十分条件をみたし， 偏微分が $x$, $y$ について可換となる．

問 2.39 (偏導関数)   次の関数の高階偏導関数を計算し， $f_{xy}=f_{yx}$, $f_{xxy}=f_{xyx}=f_{yxx}$, $f_{yyx}=f_{yxy}=f_{xyy}$ となることを確認せよ．

(1)     $f(x,y)=x^3-x^2y+xy^2-y^3+1$      (2)     $f(x,y)=x^4-3x^2y^2+3y^4$

(3)     $f(x,y)=x^5+3x^4y^2+4xy^3+y^4$      (4)     $f(x,y)=e^{xy^2}$      (5)     $f(x,y)=\sin(2x+3y)$

(6)     $f(x,y)=x^2\cos y-y^2\cos x$      (7)     $f(x,y)=\tan^{-1}x^2y$

平成20年2月2日